正八角形$A_1A_2...A_8$について、以下の問いに答えます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち、直角三角形であるものの個数を求めます。 (2) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち、直角三角形でも二等辺三角形でもないものの個数を求めます。 (3) 4個の頂点を結んでできる四角形のうち、四角形の4個の頂点から3点を選んで直角三角形を作れるものの個数を求めます。

1. 問題の内容

正八角形$A_1A_2...A_8$について、以下の問いに答えます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち、直角三角形であるものの個数を求めます。

(2) 3個の頂点を結んでできる三角形のうち、直角三角形でも二等辺三角形でもないものの個数を求めます。

(3) 4個の頂点を結んでできる四角形のうち、四角形の4個の頂点から3点を選んで直角三角形を作れるものの個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正八角形に内接する直角三角形は、直径を斜辺とするものに限られます。直径となる線分の選び方は4通りあります。それぞれの直径に対し、残りの1つの頂点は6通り選ぶことができます。したがって、直角三角形の個数は$4 \times 6 = 24$個です。

(2) まず、直角二等辺三角形の個数を求めます。正八角形の場合、直角二等辺三角形は存在しません。なぜなら、正八角形の内角はすべて135度であり、直角二等辺三角形の内角はそれぞれ90度、45度、45度となるため、正八角形の頂点を選んで直角二等辺三角形を作ることはできないからです。

したがって、直角三角形の個数24個から直角二等辺三角形の個数0個を引けばよいので、$24 - 0 = 24$個となります。

(3) 四角形の4個の頂点から3点を選んで直角三角形を作れるためには、少なくとも1つの直角三角形が含まれている必要があります。

まず、正八角形から4個の頂点を選ぶ組み合わせは $_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$通りです。

次に、4個の頂点を選んだときに直角三角形が作れない場合を考えます。4つの頂点を$A_1, A_2, A_3, A_4$のように隣り合うように選ぶと直角三角形は作れません。直径を斜辺とすると、4点の中に直径を構成する2点が含まれていない場合は、直角三角形を作れません。

4頂点を選んで直角三角形ができないのは、隣接する4点を取る場合です。

直角三角形が作れない四角形は、正八角形の隣り合う4つの頂点を選ぶ場合のみです。隣り合う4つの頂点の選び方は8通りです。

したがって、条件を満たす四角形の個数は、$70 - 8 = 62$個となります。

3. 最終的な答え

(1) 24個

(2) 24個

(3) 62個