直角を挟む2辺の長さの和が12である直角三角形において、斜辺の長さの最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺の長さの和が12である直角三角形において、斜辺の長さの最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

直角を挟む2辺の長さを $x$ 、 $y$ とします。

問題文より、$x + y = 12$ が成り立ちます。

また、$x > 0$、$y > 0$ です。

三平方の定理より、斜辺の長さ $z$ は、$z^2 = x^2 + y^2$ となります。

$z$ の最小値を求めればよいので、$z^2$ の最小値を求めることにします。

$y = 12 - x$ より、$z^2 = x^2 + (12 - x)^2$ となります。

これを展開すると、$z^2 = x^2 + 144 - 24x + x^2 = 2x^2 - 24x + 144$ となります。

$z^2 = 2(x^2 - 12x) + 144 = 2(x^2 - 12x + 36 - 36) + 144 = 2(x - 6)^2 - 72 + 144 = 2(x - 6)^2 + 72$ となります。

$x > 0$、$y > 0$ より $0 < x < 12$ です。

$z^2$ は、$x = 6$ のときに最小値 72 をとります。

このとき、$y = 12 - x = 12 - 6 = 6$ となります。

したがって、$z = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$6\sqrt{2}$