## 問題の内容

## 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを2:1に外分する点をP、辺ABを1:2に内分する点をQ、辺CAの中点をRとする。

(1) 3点P, Q, Rが一直線上にあることを証明せよ。

(2) QR:QPを求めよ。

## 解き方の手順

**(1) 3点P, Q, Rが一直線上にあることの証明**

ベクトルを用いて考える。

$\vec{a} = \vec{OA}$、$\vec{b} = \vec{OB}$、$\vec{c} = \vec{OC}$とする。

点Pは辺BCを2:1に外分するので、

$\vec{p} = - \vec{b} + 2\vec{c}$

点Qは辺ABを1:2に内分するので、

$\vec{q} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

点Rは辺CAの中点なので、

$\vec{r} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

ここで、$\vec{QR}$を計算する。

$\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3} = \frac{3\vec{a} + 3\vec{c} - 4\vec{a} - 2\vec{b}}{6} = \frac{-\vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6}$

次に、$\vec{QP}$を計算する。

$\vec{QP} = \vec{p} - \vec{q} = (- \vec{b} + 2\vec{c}) - \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3} = \frac{-3\vec{b} + 6\vec{c} - 2\vec{a} - \vec{b}}{3} = \frac{-2\vec{a} - 4\vec{b} + 6\vec{c}}{3}$

$\vec{QP} = \frac{2}{1} \cdot \frac{-\vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}}{3\times 1} = 4 \cdot \frac{-\vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6} = 4 \vec{QR}$

$\vec{QP} = 4 \vec{QR}$より、$\vec{QP}$と$\vec{QR}$は平行であり、点Qを共有しているため、3点P, Q, Rは一直線上にある。

**(2) QR:QPの計算**

(1)より、$\vec{QP} = 4 \vec{QR}$であるから、$\vec{QR} = \frac{1}{4} \vec{QP}$

したがって、QR:QP = 1:4

## 最終的な答え

(1) 3点P, Q, Rは一直線上にある。

(2) QR:QP = 1:4