長さが $a$, $a+2$, $a+4$ である3つの線分が三角形の3辺となるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。さらに、その三角形が鈍角三角形となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

長さが $a$, $a+2$, $a+4$ である3つの線分が三角形の3辺となるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。さらに、その三角形が鈍角三角形となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の成立条件を満たす $a$ の範囲を求める。三角形の成立条件とは、最も長い辺の長さが他の2辺の長さの和よりも小さいことである。

この問題の場合、$a+4$ が最も長い辺なので、以下の不等式が成り立つ必要がある。

$a + (a+2) > a+4$

これを解くと、

$2a+2 > a+4$

$a > 2$

また、三角形の辺の長さは正である必要があるため、$a > 0$、$a+2 > 0$、$a+4 > 0$ を満たす必要がある。

これらの条件を考えると、$a > 0$ である必要がある。

したがって、$a > 2$ が条件となる。

(2) (1)の三角形が鈍角三角形となる条件を求める。最も長い辺に対する角が鈍角となる必要がある。

余弦定理より、$a+4$に対する角を$\theta$とすると、

$(a+4)^2 > a^2 + (a+2)^2$

$a^2 + 8a + 16 > a^2 + a^2 + 4a + 4$

$0 > a^2 - 4a - 12$

$a^2 - 4a - 12 < 0$

$(a-6)(a+2) < 0$

$-2 < a < 6$

(1)の結果より、$a > 2$ である必要があるので、

$2 < a < 6$

3. 最終的な答え

(1) $a > 2$

(2) $2 < a < 6$