与えられた線形代数の問題に対して、以下のものを求める。 * クロネッカーデルタを含む計算 * 2x2行列の基本計算 * 行列式の計算 * 逆行列の計算 * 連立一次方程式の解 * 同次方程式の解

## 線形代数 中間試験問題 解答

1. 問題の内容

与えられた線形代数の問題に対して、以下のものを求める。

* クロネッカーデルタを含む計算

* 2x2行列の基本計算

* 行列式の計算

* 逆行列の計算

* 連立一次方程式の解

* 同次方程式の解

2. 解き方の手順

**問

5. 連立一次方程式**

与えられた連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く。

連立一次方程式は以下：

$x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 1$

$2x_1 + x_2 - 2x_3 = 2$

$3x_1 + 2x_2 + x_3 = -1$

まず、係数行列の行列式を計算する。

$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1+4) - 2(2+6) - 2(4-3) = 5 - 16 - 2 = -13$

次に、$x_1$, $x_2$, $x_3$に関する行列式を計算する。

$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1+4) - 2(2-2) - 2(4+1) = 5 - 0 - 10 = -5$

$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(2-2) - 1(2+6) - 2(-2-6) = 0 - 8 + 16 = 8$

$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-1-4) - 2(-2-6) + 1(4-3) = -5 + 16 + 1 = 12$

クラメルの公式より：

$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{-5}{-13} = \frac{5}{13}$

$x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{8}{-13} = -\frac{8}{13}$

$x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{12}{-13} = -\frac{12}{13}$

**問

6. 同次方程式**

与えられた同次方程式が自明でない解を持つかどうかを調べ、もし持つ場合は解を求める。

連立同次方程式は以下：

$x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0$

$3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0$

$4x_1 + 4x_2 - 5x_3 = 0$

係数行列式を計算する。

$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 3 & 2 & -3 \\ 4 & 4 & -5 \end{vmatrix} = 1(-10+12) - 2(-15+12) - 2(12-8) = 2 + 6 - 8 = 0$

行列式が0なので、自明でない解を持つ。

最初の2つの式から$x_1$を消去する。

$3x_1 + 6x_2 - 6x_3 = 0$

$3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0$

引くと

$4x_2 - 3x_3 = 0$

$x_2 = \frac{3}{4}x_3$

$x_1 + 2(\frac{3}{4}x_3) - 2x_3 = 0$

$x_1 + \frac{3}{2}x_3 - 2x_3 = 0$

$x_1 = \frac{1}{2}x_3$

よって、解は $x_1 = \frac{1}{2}t, x_2 = \frac{3}{4}t, x_3 = t$ (tは任意定数)

3. 最終的な答え

**問

5. 連立一次方程式**

$x_1 = \frac{5}{13}, x_2 = -\frac{8}{13}, x_3 = -\frac{12}{13}$

**問

6. 同次方程式**

解は $x_1 = \frac{1}{2}t, x_2 = \frac{3}{4}t, x_3 = t$ (tは任意定数)