問題は以下の通りです。 (1) $a = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。 (3) $b$ を(2)で求めた値とするとき、$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) $a = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。

(3) $b$ を(2)で求めた値とするとき、$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化

$a = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+1}$ の分母を有理化します。分母の共役複素数 $\sqrt{3}-1$ を分母分子にかけます。

$a = \frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2}{3-1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

(2) 小数部分 $b$ の計算と $a^2 + b^2$ の計算

$a = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ の整数部分を求めます。$1 < \sqrt{3} < 2$ より、$2 < 1 + \sqrt{3} < 3$ なので、$1 < \frac{1 + \sqrt{3}}{2} < \frac{3}{2} = 1.5$ となります。したがって、$a$ の整数部分は 1 です。

$a$ の小数部分 $b$ は、$b = a - 1 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ となります。

次に $a^2 + b^2$ を計算します。

$a^2 = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

$b^2 = (\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2 = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{4} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$

$a^2 + b^2 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

(3) $a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2$ の計算

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = a^4 - a^2 + 2ab^2 - b^4 = a^4 - a^2 - (b^4 - 2ab^2) = a^2(a^2 - 1) - b^2(b^2 - 2a)$

$a^2-1 = \frac{2+\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 - 2a = \frac{2-\sqrt{3}}{2} - 2(\frac{1+\sqrt{3}}{2}) = \frac{2-\sqrt{3}}{2} - 1 - \sqrt{3} = \frac{2-\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}}{2} = \frac{-3\sqrt{3}}{2}$

$a^2(a^2-1) - b^2(b^2 - 2a) = (\frac{2+\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{2-\sqrt{3}}{2})(\frac{-3\sqrt{3}}{2}) = \frac{2\sqrt{3}+3}{4} - \frac{-6\sqrt{3}+9}{4} = \frac{2\sqrt{3}+3+6\sqrt{3}-9}{4} = \frac{8\sqrt{3}-6}{4} = 2\sqrt{3} - \frac{3}{2}$

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = a^2(a^2 - 1) - b^2(b^2 - 2a)$

$= (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) - a^2 + 2ab^2 - b^4$

別解として、

$a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = a^4 - (b^4 - 2ab^2 + a^2) = a^4 - (a - b^2)^2$

ここで、$a-b^2 = \frac{1+\sqrt{3}}{2} - (\frac{2-\sqrt{3}}{2}) = \frac{1+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}-1}{2}$

$(a-b^2)^2 = (\frac{2\sqrt{3}-1}{2})^2 = \frac{12 - 4\sqrt{3} + 1}{4} = \frac{13-4\sqrt{3}}{4}$

$a^4 = (\frac{2+\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{4+4\sqrt{3}+3}{4} = \frac{7+4\sqrt{3}}{4}$

$a^4 - (a-b^2)^2 = \frac{(7+4\sqrt{3})^2 - (13-4\sqrt{3})}{4} = \frac{49+56\sqrt{3}+48}{16} = \frac{97+56\sqrt{3}}{16} - \frac{13-4\sqrt{3}}{4} = \frac{7+4\sqrt{3}}{4} - \frac{13-4\sqrt{3}}{4} = \frac{7+4\sqrt{3}-13+4\sqrt{3}}{4} = \frac{-6+8\sqrt{3}}{4} = -3/2 + 2\sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$

(2) $b = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$, $a^2+b^2 = 2$

(3) $a^4 - b^4 + 2ab^2 - a^2 = 2\sqrt{3} - \frac{3}{2}$