実数 $x$ に対して、無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} e^{nx(x-2)}$ を考える。 (1) この無限等比級数が収束するような $x$ の条件を求める。 (2) この無限等比級数が収束し、その和が $\frac{1}{e-1}$ に等しくなるような $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} e^{nx(x-2)}$ を考える。

(1) この無限等比級数が収束するような $x$ の条件を求める。

(2) この無限等比級数が収束し、その和が $\frac{1}{e-1}$ に等しくなるような $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 無限等比級数が収束する条件は、公比の絶対値が1より小さいことである。この級数の公比は $e^{x(x-2)}$ であるから、

$|e^{x(x-2)}| < 1$

が成り立つ必要がある。$e^{x(x-2)} > 0$ であるから、

$e^{x(x-2)} < 1$

両辺の自然対数をとると、

$x(x-2) < \ln{1} = 0$

$x(x-2) < 0$

$x(x-2) = x^2 - 2x = x(x-2) < 0$

$0 < x < 2$

(2) 無限等比級数が収束するとき、その和は $\frac{a}{1-r}$ で与えられる。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比である。この級数の初項は $e^{x(x-2)}$ で、公比も $e^{x(x-2)}$ である。したがって、級数の和は

$\frac{e^{x(x-2)}}{1 - e^{x(x-2)}}$

これが $\frac{1}{e-1}$ に等しいので、

$\frac{e^{x(x-2)}}{1 - e^{x(x-2)}} = \frac{1}{e-1}$

$e^{x(x-2)}(e-1) = 1 - e^{x(x-2)}$

$e e^{x(x-2)} - e^{x(x-2)} = 1 - e^{x(x-2)}$

$e e^{x(x-2)} = 1$

$e^{x(x-2)} = \frac{1}{e} = e^{-1}$

$x(x-2) = -1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

$x=1$ は、$0<x<2$ を満たしている。

3. 最終的な答え

(1) $0 < x < 2$

(2) $x = 1$