関数 $f(x) = e^{-x}\sin x$ (ただし $x>0$) について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。 (2) 方程式 $f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つときの、$a$ の値の範囲を求めます。ただし、$a>0$ とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-x}\sin x$ (ただし $x>0$) について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

(2) 方程式 $f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つときの、$a$ の値の範囲を求めます。ただし、$a>0$ とします。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{-x}\sin x$ の最大値と最小値を求める。

まず、$f(x)$ を微分して増減を調べます。

$f'(x) = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-x}(\cos x - \sin x) = 0$

$e^{-x} > 0$ より、$\cos x - \sin x = 0$

$\cos x = \sin x$

$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ ( $n$ は整数)

$x>0$ より、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \dots$

$f''(x) = -e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x) = -e^{-x}(-\sin x + \cos x + \sin x + \cos x) = -2e^{-x}\cos x$

$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ での $f''(x)$ の符号を調べます。

- $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$f''(\frac{\pi}{4}) = -2e^{-\frac{\pi}{4}}\cos(\frac{\pi}{4}) = -2e^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}} < 0$ なので、$f(\frac{\pi}{4})$ は極大値です。

- $x = \frac{5\pi}{4}$ のとき、$f''(\frac{5\pi}{4}) = -2e^{-\frac{5\pi}{4}}\cos(\frac{5\pi}{4}) = -2e^{-\frac{5\pi}{4}}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}e^{-\frac{5\pi}{4}} > 0$ なので、$f(\frac{5\pi}{4})$ は極小値です。

$f(\frac{\pi}{4}) = e^{-\frac{\pi}{4}}\sin(\frac{\pi}{4}) = e^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$

$f(\frac{5\pi}{4}) = e^{-\frac{5\pi}{4}}\sin(\frac{5\pi}{4}) = e^{-\frac{5\pi}{4}}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -e^{-\frac{5\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x>0$ で $x$ が大きくなると、$e^{-x}$ が0に近づくため、$f(x)$ は0に近づきます。

したがって、最大値は $e^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$ で、最小値は存在しません（$f(x)$ は0に限りなく近づきますが、0にはなりません）。

(2) $f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つときの $a$ の範囲を求めます。

$f(x)$ のグラフを考えると、

$0 < a < e^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、方程式 $f(x) = a$ は異なる正の実数解を無限個持ちます。

$f(x)=a$の解が2個となるaの範囲は、グラフを描くと$0<a<f(\pi/4)$の範囲にaがあるときです。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$ ($x = \frac{\pi}{4}$ のとき)

最小値: なし

(2) $0 < a < \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{\pi}{4}}$