この問題には4つの小問があります。 (1) 大小2つのサイコロを投げたとき、出た目の積が4の倍数になる場合の数を求める。 (2) 5人のグループと6人のグループからそれぞれ1人ずつ代表を選ぶ方法の数を求める。 (3) $(a+b+c)(x+y)$ を展開したときの項の数を求める。 (4) A, B, Cの3つの町があり、AとBの間には4本の道、BとCの間には3本の道がある。AからBを経由してCへ行く方法の数を求める。

1. 問題の内容

この問題には4つの小問があります。

(1) 大小2つのサイコロを投げたとき、出た目の積が4の倍数になる場合の数を求める。

(2) 5人のグループと6人のグループからそれぞれ1人ずつ代表を選ぶ方法の数を求める。

(3) $(a+b+c)(x+y)$ を展開したときの項の数を求める。

(4) A, B, Cの3つの町があり、AとBの間には4本の道、BとCの間には3本の道がある。AからBを経由してCへ行く方法の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つのサイコロの目をそれぞれ $x, y$ とすると、積 $xy$ が4の倍数となる場合を考えます。

* $x$ または $y$ が4のとき：$x=4$のとき、 $y$ は1から6のどれでも良いので6通り。同様に$y=4$のときも6通り。ただし、$x=4, y=4$は重複しているので、6+6-1 = 11通り。

* $x$ または $y$ が2の倍数で、もう片方も2の倍数のとき：$x=2$のとき、 $y$ が2,6のとき条件を満たすので2通り。$x=6$のときも同様に2通り。$y=2$のとき、$x$ が2,6のとき条件を満たすので2通り。$y=6$のときも同様に2通り。この時点で$x, y$ともに偶数のパターンは計算済みなので追加する必要はありません。

* 上記以外のパターン：$x, y$の組み合わせで $xy$ が4の倍数になるのは、$x=1,3,5$ のとき$y=4$, $y=1,3,5$のとき$x=4$と計算済み。$x=2,6$と$y=2,6$も計算済み。

合計すると、$x, y$ が4の倍数を含むパターン：11通り

$x, y$ が偶数パターン：$x=2$なら$y=2, 4, 6$の3通り、$x=6$なら$y=2, 4, 6$の3通り。$x, y$ が4の倍数パターンは計算済みなので、$x=2$なら$y=2, 6$の2通り。$x=6$なら$y=2, 6$の2通り。合計4通り。

したがって、合計は11+4 = 15通り。

(2) 5人から1人代表を選ぶ方法は5通り、6人から1人代表を選ぶ方法は6通り。それぞれの選び方は独立なので、積の法則より $5 \times 6 = 30$ 通り。

(3) $(a+b+c)(x+y) = a(x+y) + b(x+y) + c(x+y) = ax + ay + bx + by + cx + cy$となり、項の数は6個。各項は $a, b, c$ のいずれか一つと $x, y$ のいずれか一つを選んで掛け合わせたものなので、3 × 2 = 6個。

(4) AからBへ行く方法は4通り、BからCへ行く方法は3通り。それぞれの選び方は独立なので、積の法則より $4 \times 3 = 12$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 30通り

(3) 6個

(4) 12通り