7個の異なる色の球がある。 (1) 7個の球から6個を選び、A, B, Cのケースに2個ずつ入れる方法の総数を求める。 (2) 7個の球をA, B, Cのケースに分ける方法の総数を求める。ただし、各ケースには少なくとも1個の球が入るものとする。 (3) 7個の球を3つのグループに分ける方法の総数を求める。ただし、各グループには少なくとも1個の球が入るものとする。

1. 問題の内容

7個の異なる色の球がある。

(1) 7個の球から6個を選び、A, B, Cのケースに2個ずつ入れる方法の総数を求める。

(2) 7個の球をA, B, Cのケースに分ける方法の総数を求める。ただし、各ケースには少なくとも1個の球が入るものとする。

(3) 7個の球を3つのグループに分ける方法の総数を求める。ただし、各グループには少なくとも1個の球が入るものとする。

2. 解き方の手順

(1)

まず、7個の球から6個を選ぶ組み合わせを計算する。これは $_7C_6 = 7$ 通りである。

次に、選んだ6個の球をA, B, Cのケースに2個ずつ入れる方法を計算する。

6個からAに入れる2個を選ぶ方法は $_6C_2$ 通り。

残りの4個からBに入れる2個を選ぶ方法は $_4C_2$ 通り。

残りの2個はCに入れる。

したがって、6個の球をA, B, Cに2個ずつ入れる方法は、

$\frac{_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{1} = \frac{15 \times 6 \times 1}{1} = 90$ 通り。

よって、7個から6個を選び、A, B, Cに2個ずつ入れる方法は $7 \times 90 = 630$ 通り。

(2)

まず、各ケースに少なくとも1個の球が入るように分けることを考慮する。

球の分け方として、(5, 1, 1), (4, 2, 1), (3, 3, 1), (3, 2, 2) の4つのパターンがある。

(5, 1, 1)の場合: $_7C_5 \times _2C_1 \times _1C_1 \times \frac{1}{2!} \times 3! = 21 \times 2 \times 1 \times \frac{1}{2} \times 6 = 126$ 通り。

(4, 2, 1)の場合: $_7C_4 \times _3C_2 \times _1C_1 \times 3! = 35 \times 3 \times 1 \times 6 = 630$ 通り。

(3, 3, 1)の場合: $_7C_3 \times _4C_3 \times _1C_1 \times \frac{1}{2!} \times 3! = 35 \times 4 \times 1 \times \frac{1}{2} \times 6 = 420$ 通り。

(3, 2, 2)の場合: $_7C_3 \times _4C_2 \times _2C_2 \times \frac{1}{2!} \times 3! = 35 \times 6 \times 1 \times \frac{1}{2} \times 6 = 630$ 通り。

しかし、A, B, C の区別があるので、

(5,1,1) 型は $_7C_5 \cdot _2C_1 \cdot _1C_1 \cdot 3 = 21 \cdot 2 \cdot 3 = 126$

(4,2,1) 型は $_7C_4 \cdot _3C_2 \cdot _1C_1 \cdot 6 = 35 \cdot 3 \cdot 6 = 630$

(3,3,1) 型は $_7C_3 \cdot _4C_3 \cdot _1C_1 \cdot 3 = 35 \cdot 4 \cdot 3 = 420$

(3,2,2) 型は $_7C_3 \cdot _4C_2 \cdot _2C_2 \cdot 3 = 35 \cdot 6 \cdot 3 = 630$

合計は $126 + 630 + 420 + 630 = 1806$ 通り。

(3)

(5, 1, 1)の場合: $_7C_5 \times _2C_1 \times _1C_1 \times \frac{1}{2!} = 21$

(4, 2, 1)の場合: $_7C_4 \times _3C_2 \times _1C_1 = 35 \times 3 = 105$

(3, 3, 1)の場合: $_7C_3 \times _4C_3 \times _1C_1 \times \frac{1}{2!} = 70$

(3, 2, 2)の場合: $_7C_3 \times _4C_2 \times _2C_2 \times \frac{1}{2!} = 105$

合計は $21 + 105 + 70 + 105 = 301$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 630 通り

(2) 1806 通り

(3) 301 通り