## 問題の内容

## 問題の内容

500g入りの粉末洗剤を生産している工場で、過去のデータから内容量の分散は $\sigma^2 = 20.1$ (g$^2$) でした。生産工程の変更後、30個の製品を選んで内容量を調べたところ、標本分散 $V = 11.25$ (g$^2$) でした。

(1) 内容量のばらつきに変化があったといえるかを有意水準5%で検定します。

(2) 母分散 $\sigma^2$ の99%信頼区間を求めます。

## 解き方の手順

### (1) 仮説検定

(i) 帰無仮説 $H_0$ と対立仮説 $H_1$ を設定します。

* $H_0$: $\sigma^2 = 20.1$ (分散は変化していない)

* $H_1$: $\sigma^2 \neq 20.1$ (分散は変化している)

両側検定を行います。

(ii) 検定統計量を計算します。

検定統計量はカイ二乗分布に従う統計量 $\chi^2$ であり、次の式で計算されます。

$\chi^2 = \frac{(n-1)V}{\sigma_0^2}$

ここで、$n$ はサンプルサイズ、$V$ は標本分散、$\sigma_0^2$ は帰無仮説における分散です。

この問題では、$n = 30$、$V = 11.25$、$\sigma_0^2 = 20.1$ なので、

$\chi^2 = \frac{(30-1) \times 11.25}{20.1} = \frac{29 \times 11.25}{20.1} \approx 16.23$

自由度 $n-1 = 29$ のカイ二乗分布の上側2.5%点と下側2.5%点を求めます。

カイ二乗分布表より、

* 上側2.5%点: $\chi^2_{0.025, 29} \approx 45.722$

* 下側2.5%点: $\chi^2_{0.975, 29} \approx 16.047$

(iii) 帰無仮説 $H_0$ を棄却するかどうかを判定します。

計算した検定統計量 $\chi^2 \approx 16.23$ が、棄却域 $\chi^2 < 16.047$ または $\chi^2 > 45.722$ に入るかどうかを調べます。

$\chi^2 = 16.23 > 16.047$ より、棄却域には入らない。

したがって、帰無仮説 $H_0$ は棄却されません。

結論: 有意水準5%で、製品のばらつきに変化があったとはいえない。

### (2) 99%信頼区間の計算

母分散 $\sigma^2$ の99%信頼区間は、以下の式で計算されます。

$\frac{(n-1)V}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)V}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}$

ここで、$n$ はサンプルサイズ、$V$ は標本分散、$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$ です。

$\chi^2_{\alpha/2, n-1} = \chi^2_{0.005, 29}$ は自由度29のカイ二乗分布の上側0.5%点であり、$\chi^2_{1-\alpha/2, n-1} = \chi^2_{0.995, 29}$ は下側0.5%点です。

カイ二乗分布表より、

* $\chi^2_{0.005, 29} \approx 52.336$

* $\chi^2_{0.995, 29} \approx 13.121$

したがって、99%信頼区間は

$\frac{29 \times 11.25}{52.336} \leq \sigma^2 \leq \frac{29 \times 11.25}{13.121}$

$6.23 \leq \sigma^2 \leq 24.99$

## 最終的な答え

(1)

(i) $H_0$: $\sigma^2 = 20.1$

$H_1$: $\sigma^2 \neq 20.1$

[両側]

(ii) 検定統計量: $\chi^2 \approx 16.23$

分布の上側2.5%点: 45.722

分布の下側2.5%点: 16.047

(iii) $H_0$ は棄却されない。有意水準5%で、製品のばらつきに変化があったとはいえない。

(2) $\sigma^2$ の99%信頼区間: $6.23 \leq \sigma^2 \leq 24.99$