質量 $m$ の質点が $x$ 軸上を $F(x) = F_0 (e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1) e^{\frac{x_0 - x}{R}}$ の力を受けて運動している。ここで、$F_0$, $x_0$, $R$ は正の定数である。$|x_0 - x| \ll R$ として、以下の問いに答えよ。 (a) $F(x)$ を $x$ の関数としてグラフの概形を図示せよ。 (b) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の 1 次で近似せよ。 (c) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の 1 次で近似した場合における質点の運動方程式を書け。また、このとき質点はどのような運動をするか答えよ。（運動方程式を解かなくてもよい。）

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が $x$ 軸上を $F(x) = F_0 (e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1) e^{\frac{x_0 - x}{R}}$ の力を受けて運動している。ここで、$F_0$, $x_0$, $R$ は正の定数である。$|x_0 - x| \ll R$ として、以下の問いに答えよ。

(a) $F(x)$ を $x$ の関数としてグラフの概形を図示せよ。

(b) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の 1 次で近似せよ。

(c) $F(x)$ を $\frac{x_0 - x}{R}$ の 1 次で近似した場合における質点の運動方程式を書け。また、このとき質点はどのような運動をするか答えよ。（運動方程式を解かなくてもよい。）

2. 解き方の手順

(a) グラフの概形

$F(x) = F_0 (e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1) e^{\frac{x_0 - x}{R}}$ を考える。

$x = x_0$ のとき、$F(x_0) = F_0(e^0 - 1)e^0 = F_0(1 - 1) = 0$ となる。

$x > x_0$ のとき、$x_0 - x < 0$ より、$\frac{x_0 - x}{R} < 0$ となるので、$e^{\frac{x_0 - x}{R}} < 1$ である。したがって、$e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1 < 0$ かつ $e^{\frac{x_0 - x}{R}} > 0$ であるから、$F(x) < 0$ となる。

$x < x_0$ のとき、$x_0 - x > 0$ より、$\frac{x_0 - x}{R} > 0$ となるので、$e^{\frac{x_0 - x}{R}} > 1$ である。したがって、$e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1 > 0$ かつ $e^{\frac{x_0 - x}{R}} > 0$ であるから、$F(x) > 0$ となる。

$x \to \infty$ のとき、$e^{\frac{x_0 - x}{R}} \to 0$ なので、$F(x) \to F_0(-1) \times 0 = 0$ となる。

$x \to -\infty$ のとき、$e^{\frac{x_0 - x}{R}} \to \infty$ なので、$F(x) \to \infty$ となる。

したがって、$F(x)$ のグラフは、$x = x_0$ で $F(x) = 0$ となり、$x > x_0$ で $F(x) < 0$、$x < x_0$ で $F(x) > 0$ となるグラフとなる。

(b) 1 次近似

$|x_0 - x| \ll R$ より、$\frac{x_0 - x}{R}$ は小さい。

$e^x$ のテイラー展開は、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots$ である。

したがって、$e^{\frac{x_0 - x}{R}} \approx 1 + \frac{x_0 - x}{R}$ と近似できる。

$F(x) = F_0 (e^{\frac{x_0 - x}{R}} - 1) e^{\frac{x_0 - x}{R}} \approx F_0 (1 + \frac{x_0 - x}{R} - 1) (1 + \frac{x_0 - x}{R}) = F_0 \frac{x_0 - x}{R} (1 + \frac{x_0 - x}{R})$

$\frac{x_0 - x}{R}$ の 1 次で近似するので、$F(x) \approx F_0 \frac{x_0 - x}{R}$ となる。

(c) 運動方程式

運動方程式は、$m \frac{d^2 x}{dt^2} = F(x)$ である。

$F(x) \approx F_0 \frac{x_0 - x}{R}$ なので、$m \frac{d^2 x}{dt^2} = F_0 \frac{x_0 - x}{R}$ となる。

$m \frac{d^2 x}{dt^2} = - \frac{F_0}{R} (x - x_0)$

これは単振動の運動方程式である。平衡点は $x = x_0$ であり、角振動数は $\omega = \sqrt{\frac{F_0}{mR}}$ である。したがって、質点は $x = x_0$ の周りで単振動をする。

3. 最終的な答え

(a) $x=x_0$で$F(x)=0$となり、$x>x_0$で$F(x)<0$、$x<x_0$で$F(x)>0$となるグラフ

(b) $F(x) \approx F_0 \frac{x_0 - x}{R}$

(c) 運動方程式：$m \frac{d^2 x}{dt^2} = F_0 \frac{x_0 - x}{R}$。質点は $x = x_0$ の周りで単振動をする。