5つの数字0, 1, 2, 3, 4を使って作れる自然数の個数を求める問題です。ただし、同じ数字を繰り返し使って良いものとします。 (1) 3桁の自然数の個数を求めます。 (2) 3桁以下の自然数の個数を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

**問題5**

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4を使って作れる自然数の個数を求める問題です。ただし、同じ数字を繰り返し使って良いものとします。

(1) 3桁の自然数の個数を求めます。

(2) 3桁以下の自然数の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の自然数を作る場合、百の位は0以外の4つの数字（1, 2, 3, 4）から選ぶことができます。十の位と一の位は5つの数字（0, 1, 2, 3, 4）から選ぶことができます。したがって、3桁の自然数の個数は $4 \times 5 \times 5$ で計算できます。

(2) 3桁以下の自然数とは、1桁、2桁、3桁の自然数の合計です。

* 1桁の自然数: 0以外の4つ（1, 2, 3, 4）です。

* 2桁の自然数: 十の位は0以外の4つ（1, 2, 3, 4）から選び、一の位は5つ（0, 1, 2, 3, 4）から選ぶので、$4 \times 5$個です。

* 3桁の自然数は(1)で計算しました。

したがって、3桁以下の自然数の個数は、1桁の数 + 2桁の数 + 3桁の数で計算します。

3. 最終的な答え

(1) $4 \times 5 \times 5 = 100$個

(2) $4 + (4 \times 5) + (4 \times 5 \times 5) = 4 + 20 + 100 = 124$個

**問題6**

1. 問題の内容

10人がA, Bの2部屋に入る場合の数を求める問題です。

(1) 10人がA, Bの2部屋に自由に入る方法は何通りあるかを求めます。ただし、全員が1つの部屋に入っても良いとします。

(2) 10人を2つのグループA, Bに分ける方法は何通りあるかを求めます。

(3) 10人を2つのグループに分ける方法は何通りあるかを求めます。グループに名前の区別はありません。

2. 解き方の手順

(1) 各人はA, Bのどちらかの部屋に入る2通りの選択肢があります。したがって、10人それぞれが2通りの選択肢を持つので、$2^{10}$通りです。

(2) グループAに入る人数を0人から10人まで考えます。Aに入る人数が決まれば、残りの人は自動的にグループBに入ります。Aに入る人数が$k$人の場合、その選び方は$_{10}C_k$通りです。したがって、合計は

$\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k = {}_{10}C_0 + {}_{10}C_1 + {}_{10}C_2 + ... + {}_{10}C_{10} = 2^{10}$通りです。

これは(1)と同じ答えになります。

(3) グループに名前の区別がないので、(2)の場合の数の半分になります。ただし、全員が片方のグループに入る場合（Aに全員またはBに全員）は1通りとして数えるため、単純に半分にはできません。AとBに分ける分け方を考える際、Aに$k$人入る分け方とBに$k$人入る分け方は同じ分け方なので、グループに名前がない場合は、片方だけに全員入る分け方を除き、場合の数を2で割る必要があります。

グループ分けの場合、片方のグループが0人になる分け方を除外するのが一般的です。したがって、全パターン数から、片方のグループが0人になるパターン(2通り)を引いて2で割る必要があります。

よって、$\frac{2^{10} - 2}{2} = 2^9 - 1$通りとなります。

3. 最終的な答え

(1) $2^{10} = 1024$通り

(2) $2^{10} = 1024$通り

(3) $2^9 - 1 = 512 - 1 = 511$通り

**問題7**

1. 問題の内容

組み合わせの計算問題です。

(1) $_8C_3$を計算します。

(2) $_9C_7$を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}$で計算します。

(2) $_9C_7 = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1}$で計算します。

また、$_9C_7 = _9C_2$を利用して計算することもできます。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(2) $\frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

**問題8**

1. 問題の内容

4桁の自然数$n$の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ$a, b, c, d$とします。

(1) $a > b > c > d$を満たす$n$は何個あるかを求めます。

(2) $a < b < c < d$を満たす$n$は何個あるかを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a, b, c, d$は全て異なる数字であり、大小関係が指定されているので、0から9までの10個の数字から4つの数字を選ぶ組み合わせを考えれば良いです。選んだ4つの数字を大きい順に並べれば、$a, b, c, d$の値が決まります。したがって、$_{10}C_4$で計算できます。

(2) $a, b, c, d$は全て異なる数字であり、大小関係が指定されているので、0から9までの10個の数字から4つの数字を選ぶ組み合わせを考えれば良いですが、$a$は0ではないので、注意が必要です。まず、$1 \leq a < b < c < d \leq 9$となる場合を考えます。つまり、1から9までの9個の数字から4つ選ぶ組み合わせなので、$_9C_4$となります。次に、$0 \leq a < b < c < d \leq 9$となるように4つの数字を選び、$a = 0$となる場合を除外します。選んだ4つの数字の中に0が含まれている場合、$a = 0$となるので、$a \neq 0$を満たす4つの数字の選び方は、1から9までの9個の数字から3つの数字を選び、$a = 0$として4つの数字を並べれば良いです。すなわち、$_9C_3$。したがって、$_9C_4 - _9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} - \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 126 - 84 = 42$

3. 最終的な答え

(1) $_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$個

(2) $_9C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$個

以上です。