20本のくじの中に当たりくじが3本ある。 (1) 同時に3本引くとき、少なくとも1本が当たりくじである確率を求める。 (2) 同時に4本引くとき、当たりくじが2本以下である確率を求める。

1. 問題の内容

20本のくじの中に当たりくじが3本ある。

(1) 同時に3本引くとき、少なくとも1本が当たりくじである確率を求める。

(2) 同時に4本引くとき、当たりくじが2本以下である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

少なくとも1本が当たりである確率は、1 - (すべて外れである確率) で求められる。

20本中、当たりくじは3本なので、外れくじは17本。

3本とも外れる確率は、

$\frac{{}_{17}C_3}{{}_{20}C_3}$

よって、求める確率は、

$1 - \frac{{}_{17}C_3}{{}_{20}C_3}$

${}_{17}C_3 = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 17 \times 8 \times 5 = 680$

${}_{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 20 \times 19 \times 3 = 1140$

$\frac{{}_{17}C_3}{{}_{20}C_3} = \frac{680}{1140} = \frac{68}{114} = \frac{34}{57}$

$1 - \frac{34}{57} = \frac{57 - 34}{57} = \frac{23}{57}$

(2)

当たりくじが2本以下である確率は、当たりくじが0本である確率、1本である確率、2本である確率の合計である。

当たりくじが0本である確率は、

$\frac{{}_{17}C_4}{{}_{20}C_4}$

当たりくじが1本である確率は、

$\frac{{}_{3}C_1 \times {}_{17}C_3}{{}_{20}C_4}$

当たりくじが2本である確率は、

$\frac{{}_{3}C_2 \times {}_{17}C_2}{{}_{20}C_4}$

${}_{17}C_4 = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 17 \times 4 \times 5 \times 7 = 2380$

${}_{3}C_1 = 3$

${}_{17}C_3 = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 17 \times 8 \times 5 = 680$

${}_{3}C_2 = 3$

${}_{17}C_2 = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 17 \times 8 = 136$

${}_{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5 \times 19 \times 3 \times 17 = 4845$

求める確率は、

$\frac{{}_{17}C_4 + {}_{3}C_1 \times {}_{17}C_3 + {}_{3}C_2 \times {}_{17}C_2}{{}_{20}C_4}$

$= \frac{2380 + 3 \times 680 + 3 \times 136}{4845}$

$= \frac{2380 + 2040 + 408}{4845}$

$= \frac{4828}{4845}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{23}{57}$

(2) $\frac{4828}{4845}$