問題9：Aチーム6人、Bチーム4人の中から4人のメンバーを選ぶときの選び方について、以下の問いに答える。 (1) すべての選び方は何通りか。 (2) Bチームから少なくとも1人選ばれるのは何通りか。 (3) 特定の2人a, bについて、aは選ばれるが、bは選ばれないのは何通りか。 問題10：正八角形の3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しないものは何個あるか。 問題11：異なる色の9個の玉を次のように分けるとき、分け方は何通りあるか。 (1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。 (2) 3個ずつの3つの組に分ける。 (3) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

1. 問題の内容

問題9：Aチーム6人、Bチーム4人の中から4人のメンバーを選ぶときの選び方について、以下の問いに答える。

(1) すべての選び方は何通りか。

(2) Bチームから少なくとも1人選ばれるのは何通りか。

(3) 特定の2人a, bについて、aは選ばれるが、bは選ばれないのは何通りか。

問題10：正八角形の3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しないものは何個あるか。

問題11：異なる色の9個の玉を次のように分けるとき、分け方は何通りあるか。

(1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。

(2) 3個ずつの3つの組に分ける。

(3) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

問題9：

(1) 10人の中から4人を選ぶので、組み合わせの総数を求める。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ 通り。

(2) 全体からBチームが誰も選ばれない場合を引く。

全体の選び方は(1)より210通り。

Bチームから誰も選ばれない場合、Aチームから4人を選ぶことになる。

これは、Aチームの6人から4人を選ぶことになるので、

$_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

よって、Bチームから少なくとも1人選ばれるのは、210 - 15 = 195通り。

(3) aは選ばれることが確定しているので、残り3人を選ぶ必要がある。bは選ばれないことが確定しているので、残りの8人からa以外の7人の中から3人を選ぶことになる。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

問題10：

正八角形の頂点の数は8個。

正八角形の3つの頂点を選んで三角形を作る総数は、$_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

正八角形と辺を共有する三角形の数：

1つの辺を共有する場合：8つの辺それぞれに対し、もう一つの頂点の選び方が4通りある。よって、8 * 4 = 32通り。

2つの辺を共有する場合：8通り。

よって、辺を共有しない三角形は、56 - 32 - 8 = 16通り。

問題11：

(1) 9個の玉を4個、3個、2個の組に分ける。

$_9C_4 \times _5C_3 \times _2C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 1 = 126 \times 10 \times 1 = 1260$ 通り。

(2) 9個の玉を3個ずつの3つの組に分ける。

$_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 84 \times 20 \times 1 = 1680$通り。

ただし、組に区別がないので、3!で割る必要がある。

$\frac{1680}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$通り。

(3) 9個の玉を2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

$_9C_2 \times _7C_2 \times _5C_2 \times _3C_3 = \frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{2!5!} \times \frac{5!}{2!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 1 = 36 \times 21 \times 10 \times 1 = 7560$通り。

2個の組が3つあるので、3!で割る必要がある。

$\frac{7560}{3!} = \frac{7560}{6} = 1260$通り。

3. 最終的な答え

問題9：

(1) 210通り

(2) 195通り

(3) 35通り

問題10：

16個

問題11：

(1) 1260通り

(2) 280通り

(3) 1260通り