連続型確率変数Xの確率密度関数 $f(x)$ が、定義域 $0 \le x \le 2$ の2次関数で、$f(0) = f(2) = 0$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ を求めよ。 (2) $f(x)$ における確率 $P(0 \le X \le 1)$ を求めよ。 (3) Xの期待値 $E(X)$ を求めよ。 (4) Xの分散 $V(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

連続型確率変数Xの確率密度関数 $f(x)$ が、定義域 $0 \le x \le 2$ の2次関数で、$f(0) = f(2) = 0$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ を求めよ。

(2) $f(x)$ における確率 $P(0 \le X \le 1)$ を求めよ。

(3) Xの期待値 $E(X)$ を求めよ。

(4) Xの分散 $V(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ は2次関数で、$f(0) = f(2) = 0$ を満たすので、$f(x) = a x (2-x)$ と表せる。ここで、$a$ は定数。確率密度関数の性質より、$\int_{0}^{2} f(x) dx = 1$ が成り立つ。

よって、

$\int_{0}^{2} a x (2-x) dx = 1$

$a \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = 1$

$a [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} = 1$

$a (4 - \frac{8}{3}) = 1$

$a (\frac{12 - 8}{3}) = 1$

$\frac{4}{3} a = 1$

$a = \frac{3}{4}$

したがって、$f(x) = \frac{3}{4} x (2-x) = \frac{3}{4} (2x - x^2)$

(2) $P(0 \le X \le 1) = \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} \frac{3}{4} (2x - x^2) dx = \frac{3}{4} [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{3}{4} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{4} (\frac{2}{3}) = \frac{1}{2}$

(3) $E(X) = \int_{0}^{2} x f(x) dx = \int_{0}^{2} x \frac{3}{4} (2x - x^2) dx = \frac{3}{4} \int_{0}^{2} (2x^2 - x^3) dx = \frac{3}{4} [\frac{2}{3} x^3 - \frac{1}{4} x^4]_{0}^{2} = \frac{3}{4} (\frac{2}{3} (8) - \frac{1}{4} (16)) = \frac{3}{4} (\frac{16}{3} - 4) = \frac{3}{4} (\frac{16 - 12}{3}) = \frac{3}{4} (\frac{4}{3}) = 1$

(4) $E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{2} x^2 \frac{3}{4} (2x - x^2) dx = \frac{3}{4} \int_{0}^{2} (2x^3 - x^4) dx = \frac{3}{4} [\frac{1}{2} x^4 - \frac{1}{5} x^5]_{0}^{2} = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} (16) - \frac{1}{5} (32)) = \frac{3}{4} (8 - \frac{32}{5}) = \frac{3}{4} (\frac{40 - 32}{5}) = \frac{3}{4} (\frac{8}{5}) = \frac{6}{5}$

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{6}{5} - 1^2 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \frac{3}{4} x (2-x)$

(2) $P(0 \le X \le 1) = \frac{1}{2}$

(3) $E(X) = 1$

(4) $V(X) = \frac{1}{5}$