与えられた2つの関数 (1) $\sqrt{3x}$ と (2) $\frac{1}{\tan x}$ の不定積分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 (1) $\sqrt{3x}$ と (2) $\frac{1}{\tan x}$ の不定積分を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3x}$ の不定積分

まず、$\sqrt{3x}$ を $(3x)^{1/2}$ と書き換えます。そして、不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を利用します。

さらに、合成関数の積分を考慮します。

$\int \sqrt{3x} \, dx = \int (3x)^{\frac{1}{2}} \, dx$

$u = 3x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 3$ より、$dx = \frac{1}{3}du$ となります。

$\int u^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

$u = 3x$ を代入して、

$\frac{2}{9} (3x)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9} (3x) \sqrt{3x} + C = \frac{2}{9} \cdot 3x \sqrt{3x} + C = \frac{2}{3} x \sqrt{3x} + C$

(2) $\frac{1}{\tan x}$ の不定積分

$\frac{1}{\tan x}$ は $\cot x$ と同値です。$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ であることを利用して不定積分を求めます。

$\int \frac{1}{\tan x} \, dx = \int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx$

$u = \sin x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = \cos x$ より、$du = \cos x \, dx$ となります。

$\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C = \ln |\sin x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sqrt{3x} \, dx = \frac{2}{3}x\sqrt{3x} + C$

(2) $\int \frac{1}{\tan x} \, dx = \ln |\sin x| + C$