箱の中に多数の花の種子が入っており、そのうち赤い花をつける種子の割合は20%である。この箱から$n$個の種子を無作為に抽出する。$k$番目に抽出された種子が赤い花をつけるならば1、そうでないならば0の値を対応させる確率変数を$X_k$とする。標本平均を$\bar{X} = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \dots + X_n)$とする。 (1) 期待値$E(\bar{X})$と分散$V(\bar{X})$を求めよ。 (2) 標準偏差$\sigma(\bar{X})$を0.02以下にするためには、抽出される標本の大きさ$n$は、少なくとも何個以上必要か。

1. 問題の内容

箱の中に多数の花の種子が入っており、そのうち赤い花をつける種子の割合は20%である。この箱から$n$個の種子を無作為に抽出する。$k$番目に抽出された種子が赤い花をつけるならば1、そうでないならば0の値を対応させる確率変数を$X_k$とする。標本平均を$\bar{X} = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \dots + X_n)$とする。

(1) 期待値$E(\bar{X})$と分散$V(\bar{X})$を求めよ。

(2) 標準偏差$\sigma(\bar{X})$を0.02以下にするためには、抽出される標本の大きさ$n$は、少なくとも何個以上必要か。

2. 解き方の手順

(1)

各$X_i$は、赤い花をつける確率が0.2のベルヌーイ試行に従う確率変数である。

したがって、$E(X_i) = 0.2$、$V(X_i) = 0.2(1-0.2) = 0.2(0.8) = 0.16$である。

期待値の線形性より、

$E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \dots + X_n)\right) = \frac{1}{n}E(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = \frac{1}{n}(E(X_1) + E(X_2) + \dots + E(X_n))$

$= \frac{1}{n}(0.2 + 0.2 + \dots + 0.2) = \frac{1}{n}(n \times 0.2) = 0.2$

同様に、分散の性質より、$X_i$は独立であるから、

$V(\bar{X}) = V\left(\frac{1}{n}(X_1 + X_2 + \dots + X_n)\right) = \frac{1}{n^2}V(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = \frac{1}{n^2}(V(X_1) + V(X_2) + \dots + V(X_n))$

$= \frac{1}{n^2}(0.16 + 0.16 + \dots + 0.16) = \frac{1}{n^2}(n \times 0.16) = \frac{0.16}{n}$

(2)

標準偏差$\sigma(\bar{X})$は分散の平方根であるから、

$\sigma(\bar{X}) = \sqrt{V(\bar{X})} = \sqrt{\frac{0.16}{n}}$

$\sigma(\bar{X}) \leq 0.02$となるためには、$\sqrt{\frac{0.16}{n}} \leq 0.02$

$\frac{0.16}{n} \leq 0.02^2 = 0.0004$

$n \geq \frac{0.16}{0.0004} = \frac{1600}{4} = 400$

したがって、$n$は400以上である必要がある。

3. 最終的な答え

(1) $E(\bar{X}) = 0.2$, $V(\bar{X}) = \frac{0.16}{n}$

(2) 400個