与えられた問題は、以下の3つの部分から構成されています。 * 問題1: $m = 20$ に対して、$m = \sum_{d|m} \phi(d)$ が成り立つことを確認する。ここで $\phi(d)$ はオイラーのトーシェント関数を表し、$d|m$ は $d$ が $m$ の約数であることを意味します。 * 問題2: $\phi(36)$ と $\phi(25)$ の値を計算する。 * 問題3: 次の2つの連立合同式を解く。 1. $x \equiv 2 \pmod{5}$, $x \equiv 3 \pmod{11}$ 2. $x \equiv 2 \pmod{6}$, $x \equiv 3 \pmod{9}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の3つの部分から構成されています。

* 問題1: $m = 20$ に対して、$m = \sum_{d|m} \phi(d)$ が成り立つことを確認する。ここで $\phi(d)$ はオイラーのトーシェント関数を表し、$d|m$ は $d$ が $m$ の約数であることを意味します。

* 問題2: $\phi(36)$ と $\phi(25)$ の値を計算する。

* 問題3: 次の2つの連立合同式を解く。

1. $x \equiv 2 \pmod{5}$, $x \equiv 3 \pmod{11}$

2. $x \equiv 2 \pmod{6}$, $x \equiv 3 \pmod{9}$

2. 解き方の手順

* **問題1:**

$m = 20$ の約数は $1, 2, 4, 5, 10, 20$ です。したがって、$\sum_{d|20} \phi(d) = \phi(1) + \phi(2) + \phi(4) + \phi(5) + \phi(10) + \phi(20)$ を計算する必要があります。

* $\phi(1) = 1$

* $\phi(2) = 1$

* $\phi(4) = 2$

* $\phi(5) = 4$

* $\phi(10) = \phi(2) \phi(5) = 1 \times 4 = 4$

* $\phi(20) = \phi(4) \phi(5) = 2 \times 4 = 8$

よって、

$\sum_{d|20} \phi(d) = 1 + 1 + 2 + 4 + 4 + 8 = 20$

したがって、$m = \sum_{d|m} \phi(d)$ が $m = 20$ に対して成り立つことが確認できました。

* **問題2:**

1. $\phi(36) = \phi(2^2 \times 3^2) = \phi(2^2) \phi(3^2) = (2^2 - 2^1)(3^2 - 3^1) = (4-2)(9-3) = 2 \times 6 = 12$

2. $\phi(25) = \phi(5^2) = 5^2 - 5^1 = 25 - 5 = 20$

* **問題3:**

1. $x \equiv 2 \pmod{5}$ および $x \equiv 3 \pmod{11}$

$x = 5k + 2 \equiv 3 \pmod{11}$

$5k \equiv 1 \pmod{11}$

$5k \equiv 1 + 22 \pmod{11}$

$5k \equiv 23 \pmod{11}$

$5k \equiv 1 \pmod{11}$

$k \equiv 9 \pmod{11}$　（5の逆元は9 mod 11）

$k = 11l + 9$

$x = 5(11l + 9) + 2 = 55l + 45 + 2 = 55l + 47$

$x \equiv 47 \pmod{55}$

2. $x \equiv 2 \pmod{6}$ および $x \equiv 3 \pmod{9}$

$x = 6k + 2 \equiv 3 \pmod{9}$

$6k \equiv 1 \pmod{9}$

しかし、$\gcd(6, 9) = 3$ であり、$1$ は $3$ で割り切れないため、この合同式は解を持ちません。

3. 最終的な答え

* 問題1: $m = 20$ に対して、$m = \sum_{d|m} \phi(d)$ は成り立つ。

* 問題2:

1. $\phi(36) = 12$

2. $\phi(25) = 20$

* 問題3:

1. $x \equiv 47 \pmod{55}$

2. 解なし