複素数 $z$ が次の2つの条件(a), (b)を同時に満たすとき、$z$ 全体の集合を複素数平面上に図示せよ。 (a) $2z$ と $\frac{2}{z}$ の実部はいずれも整数である。 (b) $|z| \ge 1$ である。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が次の2つの条件(a), (b)を同時に満たすとき、$z$ 全体の集合を複素数平面上に図示せよ。

(a) $2z$ と $\frac{2}{z}$ の実部はいずれも整数である。

(b) $|z| \ge 1$ である。

2. 解き方の手順

$z = x + yi$ （$x$, $y$ は実数）とおく。

条件(a)より、$2z = 2x + 2yi$ の実部 $2x$ は整数である。

よって、$2x = m$ （$m$ は整数）と表せる。

したがって、$x = \frac{m}{2}$ である。

また、$\frac{2}{z} = \frac{2}{x+yi} = \frac{2(x-yi)}{(x+yi)(x-yi)} = \frac{2(x-yi)}{x^2 + y^2} = \frac{2x}{x^2 + y^2} - \frac{2y}{x^2 + y^2}i$ である。

$\frac{2}{z}$ の実部 $\frac{2x}{x^2 + y^2}$ も整数である。

よって、$\frac{2x}{x^2 + y^2} = n$ （$n$ は整数）と表せる。

したがって、$x^2 + y^2 = \frac{2x}{n}$ である。

$x = \frac{m}{2}$ を代入すると、$\frac{m^2}{4} + y^2 = \frac{m}{n}$ である。

$y^2 = \frac{m}{n} - \frac{m^2}{4}$ となり、$y = \pm \sqrt{\frac{m}{n} - \frac{m^2}{4}}$ である。

条件(b)より、$|z| \ge 1$ であるから、$x^2 + y^2 \ge 1$ である。

$\frac{2x}{n} \ge 1$ より、$\frac{m}{n} \ge \frac{1}{2}$ である。

$\frac{m}{n} - \frac{m^2}{4} \ge 0$ である必要があるので、$\frac{m}{n} \ge \frac{m^2}{4}$ である。

$m > 0$ のとき、$\frac{1}{n} \ge \frac{m}{4}$ より、$m \le \frac{4}{n}$ である。

$m < 0$ のとき、$\frac{1}{n} \le \frac{m}{4}$ より、$m \ge \frac{4}{n}$ である。

$x = \frac{m}{2}$ であり、$x^2 + y^2 = \frac{2x}{n}$ であるから、円の方程式$(x - \frac{1}{n})^2 + y^2 = (\frac{1}{n})^2$である。

中心 $(\frac{1}{n}, 0)$ 、半径 $\frac{1}{|n|}$ の円である。

ただし、$|z| \ge 1$ を満たす部分である。

$n = 1$ のとき、$(x-1)^2 + y^2 = 1$ となる。$x = \frac{m}{2}$ を代入すると、$(\frac{m}{2} - 1)^2 + y^2 = 1$ となる。

$y^2 = 1 - (\frac{m}{2} - 1)^2 = 1 - (\frac{m^2}{4} - m + 1) = m - \frac{m^2}{4}$ となる。

$y$ が実数であるためには、$m - \frac{m^2}{4} \ge 0$ より、$4m - m^2 \ge 0$ 、$m(4-m) \ge 0$ より、$0 \le m \le 4$ である。

したがって、$m = 0, 1, 2, 3, 4$ である。

$m=0$ のとき $x=0$, $y=0$ となるが、$|z| \ge 1$ に反する。

$m=1$ のとき $x=1/2$, $y = \pm \sqrt{3}/2$ 。$|z| = 1 \ge 1$を満たす。

$m=2$ のとき $x=1$, $y = \pm 1$ 。$|z| = \sqrt{2} \ge 1$を満たす。

$m=3$ のとき $x=3/2$, $y = \pm \sqrt{3}/2$ 。$|z| = \sqrt{3} \ge 1$を満たす。

$m=4$ のとき $x=2$, $y = 0$ 。$|z| = 2 \ge 1$を満たす。

$n = -1$ のとき、$(x+1)^2 + y^2 = 1$ となる。同様に$x = \frac{m}{2}$ を代入する。

$(\frac{m}{2} + 1)^2 + y^2 = 1$ となる。$y^2 = -m - \frac{m^2}{4}$ となり、$m(m+4) \le 0$ より、$-4 \le m \le 0$ である。

$m = -4, -3, -2, -1, 0$ である。

$m=0$ のとき $x=0$, $y=0$ となるが、$|z| \ge 1$ に反する。

$m=-1$ のとき $x=-1/2$, $y = \pm \sqrt{3}/2$ 。$|z| = 1 \ge 1$を満たす。

$m=-2$ のとき $x=-1$, $y = \pm 1$ 。$|z| = \sqrt{2} \ge 1$を満たす。

$m=-3$ のとき $x=-3/2$, $y = \pm \sqrt{3}/2$ 。$|z| = \sqrt{3} \ge 1$を満たす。

$m=-4$ のとき $x=-2$, $y = 0$ 。$|z| = 2 \ge 1$を満たす。

$m=0$ のとき、$x = 0$ である。$x^2 + y^2 = \frac{2x}{n} = 0$ より、$y = 0$ となる。このとき、$|z| = 0$ となり、$|z| \ge 1$ を満たさない。

したがって、$x = 0$ は含まれない。

$y = 0$ の場合、$z = x$ である。$2x = m$ かつ $\frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x} = n$ が整数である必要がある。

$x = \frac{m}{2}$ を代入すると、$\frac{4}{m} = n$ となり、$m = \pm 1, \pm 2, \pm 4$ である。

$m=1$, $x=1/2$, $2/x = 4$ 。$|z|=1/2 < 1$。

$m=2$, $x=1$, $2/x = 2$ 。$|z|=1 \ge 1$。

$m=4$, $x=2$, $2/x = 1$ 。$|z|=2 \ge 1$。

$m=-1$, $x=-1/2$, $2/x = -4$ 。$|z|=1/2 < 1$。

$m=-2$, $x=-1$, $2/x = -2$ 。$|z|=1 \ge 1$。

$m=-4$, $x=-2$, $2/x = -1$ 。$|z|=2 \ge 1$。

3. 最終的な答え

複素数平面上の図示：

中心 $(\frac{1}{n}, 0)$ 、半径 $\frac{1}{|n|}$ の円で、円周上の点のうち、$|z| \ge 1$ を満たす部分。

点 $(1, 0)$, $(2, 0)$, $(-1, 0)$, $(-2, 0)$, $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$。

半径1の円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ の $|z| \ge 1$ の部分と、半径1の円 $(x+1)^2 + y^2 = 1$ の $|z| \ge 1$ の部分。点(1,0),(-1,0)。実軸上の±2。その他, 実軸上にない6点。