問題は2つの部分から構成されます。 (1) 二次関数 $f(x)$ で、$|f(k)| = |f(k+1)| = |f(k+2)| = |f(k+3)| = 4$ を満たすものを求める。 (2) (1)で求めた$f(x)$のうち、上に凸である関数を$F(x)$とする。また、二次関数$g(x)$は下に凸であり、$|g(2k-2)| = |g(2k-1)| = |g(2k+1)| = |g(2k+2)| = 6$を満たす。$0 \leq x \leq 4$において、$F(x)$の最小値を$M(k)$、$g(x)$の最大値を$m(k)$とするとき、$M(k) = m(k)$となるような$k$の値の個数を求める。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されます。

(1) 二次関数 $f(x)$ で、$|f(k)| = |f(k+1)| = |f(k+2)| = |f(k+3)| = 4$ を満たすものを求める。

(2) (1)で求めた$f(x)$のうち、上に凸である関数を$F(x)$とする。また、二次関数$g(x)$は下に凸であり、$|g(2k-2)| = |g(2k-1)| = |g(2k+1)| = |g(2k+2)| = 6$を満たす。$0 \leq x \leq 4$において、$F(x)$の最小値を$M(k)$、$g(x)$の最大値を$m(k)$とするとき、$M(k) = m(k)$となるような$k$の値の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$を求める。

二次関数$f(x) = ax^2 + bx + c$とおく。条件より、$|f(k)|=|f(k+1)|=|f(k+2)|=|f(k+3)|=4$である。

このとき、$f(k), f(k+1), f(k+2), f(k+3)$の値は4または-4である。

$f(x)$が二次関数であることから、$f(k)=f(k+2)$または$f(k+1)=f(k+3)$となることはない。したがって、$\{-4,4\}$ の値の系列として考えられるのは、

(i) 全て4

(ii) 全て-4

(iii) 4, 4, -4, -4

(iv) 4, -4, -4, 4

(v) -4, -4, 4, 4

(vi) -4, 4, 4, -4

とその符号反転がある。

$f(k)$の値の変化が1回の場合、$f(x)$は軸に関して対称になる。よって、$f(k+0.5) = 0$となり、軸は$x = k+1.5$。$f(k) = 4, f(k+1) = -4, f(k+2) = -4, f(k+3) = 4$のとき、$f(x) = a(x-(k+1.5))^2 + c$

$f(k) = a(k-(k+1.5))^2 + c = a(2.25)+c = 4$

$f(k+1) = a(k+1-(k+1.5))^2 + c = a(0.25)+c = -4$

$2a = 8$なので、$a = 4$。

$a(0.25)+c = 1+c = -4$なので、$c = -5$。

$f(x) = 4(x-k-1.5)^2 - 5 = 4(x^2 - 2(k+1.5)x + (k+1.5)^2) - 5 = 4x^2 - 8(k+1.5)x + 4(k+1.5)^2 - 5 = 4x^2 - 8(k+1.5)x + 4(k^2 + 3k + 2.25) - 5 = 4x^2 - 8(k+1.5)x + 4k^2 + 12k + 4$

$f(x)$は下に凸である可能性もあるので、$f(x) = -4(x-k-1.5)^2 + 5$も考えられる。

$f(x) = 4x^2 - 8(k+1.5)x + 4k^2 + 12k + 4$

$f(x) = -4x^2 + 8(k+1.5)x - 4k^2 - 12k - 4$

(2) $F(x)$と$g(x)$について、$M(k)=m(k)$となる$k$の個数を求める。

$f(x) = -4x^2 + 8(k+1.5)x - 4k^2 - 12k - 4$

$F(x) = -4x^2 + 8(k+1.5)x - 4k^2 - 12k - 4$

$F(x) = -4(x^2 - 2(k+1.5)x) - 4k^2 - 12k - 4 = -4(x - k - 1.5)^2 + (k+1.5)^2 - 4k^2 - 12k - 4 = -4(x - k - 1.5)^2 + 5$

$M(k)$は$0 \le x \le 4$での$F(x)$の最小値。

$軸 x = k+1.5$

$軸 x = k+1.5$で$k+1.5$が$[0,4]$に含まれるかどうかで場合分け

$g(x) = a(x-p)^2 + q$

$|g(2k-2)| = |g(2k-1)| = |g(2k+1)| = |g(2k+2)| = 6$

$g(2k-2)=a(2k-2-p)^2+q = 6$

$g(2k-1)=a(2k-1-p)^2+q = 6$

$g(2k+1)=a(2k+1-p)^2+q = 6$

$g(2k+2)=a(2k+2-p)^2+q = 6$

$p=2k$,軸は$x=2k$

$g(x) = a(x-2k)^2+q$

$g(2k-2) = a(2k-2-2k)^2 + q = a(-2)^2 + q = 4a+q = 6$

$g(2k-1) = a(2k-1-2k)^2 + q = a(-1)^2 + q = a+q = 6$

$3a = 0$.なので、$a = 0$となり矛盾。

$g(x)$は下に凸であるはずなので、$g(x) = A(x-2k-0.5)^2 + B$と仮定してみる。

$|g(2k-2)| = A(2k-2 - 2k - 0.5)^2 + B = A(-2.5)^2 + B = 6.25A+B = 6$

$|g(2k-1)| = A(2k-1 - 2k - 0.5)^2 + B = A(-1.5)^2 + B = 2.25A+B = 6$

$4A=0$.　Aが0になるので、これは矛盾

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 4x^2 - 8(k+1.5)x + 4k^2 + 12k + 4$ または $f(x) = -4x^2 + 8(k+1.5)x - 4k^2 - 12k - 4$

(2) 0個