$\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$ を計算し、分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}$ を計算し、分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $3-\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} \cdot \frac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$

分子を計算します。

$\sqrt{2}(3-\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - (\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} - 2$

分母を計算します。

$(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$

したがって、

$\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} - 2}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2} - 2}{7}$