次の式を計算します。 $(2+\sqrt{3}+\sqrt{7})(2+\sqrt{3}-\sqrt{7})$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$(2+\sqrt{3}+\sqrt{7})(2+\sqrt{3}-\sqrt{7})$

2. 解き方の手順

$A = 2 + \sqrt{3}$ と置くと、与えられた式は $(A + \sqrt{7})(A - \sqrt{7})$ と表すことができます。

これは和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用して展開できます。

$(A + \sqrt{7})(A - \sqrt{7}) = A^2 - (\sqrt{7})^2 = A^2 - 7$

次に $A$ を元に戻すと、$A^2 = (2+\sqrt{3})^2$ です。

$(2+\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

したがって、$A^2 - 7 = (7 + 4\sqrt{3}) - 7 = 4\sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$4\sqrt{3}$