次の計算をしなさい。 $(2 + \sqrt{3} + \sqrt{7})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{7})$

1. 問題の内容

次の計算をしなさい。

$(2 + \sqrt{3} + \sqrt{7})(2 + \sqrt{3} - \sqrt{7})$

2. 解き方の手順

$2 + \sqrt{3}$ を $A$ と置くと、与えられた式は $(A + \sqrt{7})(A - \sqrt{7})$ と表せます。

これは $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ の公式を利用できます。

$(A + \sqrt{7})(A - \sqrt{7}) = A^2 - (\sqrt{7})^2 = A^2 - 7$

ここで、$A = 2 + \sqrt{3}$ なので、

$A^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

したがって、

$A^2 - 7 = (7 + 4\sqrt{3}) - 7 = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{3}$