$x$ の 2 次方程式 $x^2 - 2kx - k^2 + k = 0$ が異なる 2 つの正の解をもつような実数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$x$ の 2 次方程式 $x^2 - 2kx - k^2 + k = 0$ が異なる 2 つの正の解をもつような実数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2 次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる 2 つの正の解を持つ条件は以下の 3 つです。

1. 判別式 $D > 0$ (異なる 2 つの実数解を持つ)

2. 解の和 $> 0$

3. 解の積 $> 0$

与えられた 2 次方程式は $x^2 - 2kx - k^2 + k = 0$ です。

1. 判別式 $D = (-2k)^2 - 4(1)(-k^2 + k) = 4k^2 + 4k^2 - 4k = 8k^2 - 4k$

$D > 0$ より、 $8k^2 - 4k > 0$

$4k(2k - 1) > 0$

$k < 0$ または $k > \frac{1}{2}$

2. 解の和は、2 つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると $\alpha + \beta = -\frac{-2k}{1} = 2k$

$\alpha + \beta > 0$ より、$2k > 0$

$k > 0$

3. 解の積は、$\alpha\beta = \frac{-k^2 + k}{1} = -k^2 + k$

$\alpha\beta > 0$ より、$-k^2 + k > 0$

$k(1-k) > 0$

$0 < k < 1$

以上の 3 つの条件を満たす $k$ の範囲を求めます。

1. $k < 0$ または $k > \frac{1}{2}$

2. $k > 0$

3. $0 < k < 1$

これらの条件をすべて満たすのは $\frac{1}{2} < k < 1$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} < k < 1$