$2^{n+1} = n^3$ を満たす自然数 $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$2^{n+1} = n^3$ を満たす自然数 $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$n$ が小さい場合をいくつか試してみます。

* $n=1$ のとき、$2^{1+1} = 2^2 = 4$, $1^3 = 1$ より、$2^{n+1} \neq n^3$

* $n=2$ のとき、$2^{2+1} = 2^3 = 8$, $2^3 = 8$ より、$2^{n+1} = n^3$

* $n=3$ のとき、$2^{3+1} = 2^4 = 16$, $3^3 = 27$ より、$2^{n+1} < n^3$

* $n=4$ のとき、$2^{4+1} = 2^5 = 32$, $4^3 = 64$ より、$2^{n+1} < n^3$

* $n=5$ のとき、$2^{5+1} = 2^6 = 64$, $5^3 = 125$ より、$2^{n+1} < n^3$

* $n=6$ のとき、$2^{6+1} = 2^7 = 128$, $6^3 = 216$ より、$2^{n+1} < n^3$

* $n=7$ のとき、$2^{7+1} = 2^8 = 256$, $7^3 = 343$ より、$2^{n+1} < n^3$

* $n=8$ のとき、$2^{8+1} = 2^9 = 512$, $8^3 = 512$ より、$2^{n+1} = n^3$

* $n=9$ のとき、$2^{9+1} = 2^{10} = 1024$, $9^3 = 729$ より、$2^{n+1} > n^3$

* $n=10$ のとき、$2^{10+1} = 2048$, $10^3 = 1000$ より、$2^{n+1} > n^3$

ここで、$n=2$ と $n=8$ が解であることがわかりました。

$n \geq 10$ の場合を考えます。

$n=10$ の時、$2^{n+1} > n^3$ が成立します。

数学的帰納法を用いて、$n \geq 10$ のとき $2^{n+1} > n^3$ が成立することを示します。

$n=k$ のとき $2^{k+1} > k^3$ が成り立つと仮定します。

$n=k+1$ のとき、$2^{(k+1)+1} > (k+1)^3$ が成り立つことを示します。

$2^{k+2} = 2 \cdot 2^{k+1} > 2 k^3$

$(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$

$2k^3 > k^3 + 3k^2 + 3k + 1$ を示せばよい。

これは、$k^3 - 3k^2 - 3k - 1 > 0$ を示すことと同じです。

$k \geq 10$ のとき、$k^3 - 3k^2 - 3k - 1 = k^2(k-3) -3k -1 > 0$ が成り立つので、$n \geq 10$ の時 $2^{n+1} > n^3$ が成立します。

したがって、題意を満たす自然数$n$は$2$と$8$です。

3. 最終的な答え

$n=2, 8$