7で割ると2余り、9で割ると6余るような4桁の自然数のうち、最小のものを求める。

1. 問題の内容

7で割ると2余り、9で割ると6余るような4桁の自然数のうち、最小のものを求める。

2. 解き方の手順

求める数を $x$ とすると、問題文より以下の式が成り立つ。

$x \equiv 2 \pmod{7}$

$x \equiv 6 \pmod{9}$

まず、1つ目の式から $x = 7k + 2$ （$k$ は整数）と表せる。これを2つ目の式に代入すると、

$7k + 2 \equiv 6 \pmod{9}$

$7k \equiv 4 \pmod{9}$

ここで、$7k \equiv 4 \pmod{9}$ を満たす $k$ を見つける。

$7k \equiv 4 \pmod{9}$ の両辺に4を掛けると、

$28k \equiv 16 \pmod{9}$

$k \equiv 7 \pmod{9}$

よって、$k = 9m + 7$ （$m$ は整数）と表せる。

これを $x = 7k + 2$ に代入すると、

$x = 7(9m + 7) + 2 = 63m + 49 + 2 = 63m + 51$

$x = 63m + 51$

求める $x$ は4桁の自然数なので、$1000 \leq x \leq 9999$ である。

$1000 \leq 63m + 51 \leq 9999$

$949 \leq 63m \leq 9948$

$15.06 \leq m \leq 157.90$

$m$ は整数なので、$16 \leq m \leq 157$

最小の $x$ を求めるためには、$m$ を最小にする必要がある。よって、$m = 16$ を代入すると、

$x = 63(16) + 51 = 1008 + 51 = 1059$

3. 最終的な答え

1059