以下の関数の不定積分を求めます。積分定数は省略しても構いません。 (1) $f(x) = (3x-1)^5$ (2) $f(x) = \sin(ax)$ ($a \neq 0$) (3) $f(x) = x\cos x$ (4) $f(x) = xe^x$ (5) $f(x) = \sqrt[3]{2x-3}$ (6) $f(x) = \log x$

はい、承知いたしました。与えられた画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の関数の不定積分を求めます。積分定数は省略しても構いません。

(1) $f(x) = (3x-1)^5$

(2) $f(x) = \sin(ax)$ ($a \neq 0$)

(3) $f(x) = x\cos x$

(4) $f(x) = xe^x$

(5) $f(x) = \sqrt[3]{2x-3}$

(6) $f(x) = \log x$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = (3x-1)^5$

置換積分を行います。$u = 3x - 1$ と置くと、$du = 3dx$、つまり $dx = \frac{1}{3}du$ となります。

したがって、

$\int (3x-1)^5 dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^5 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{1}{18} u^6 + C = \frac{1}{18}(3x-1)^6 + C$

(2) $f(x) = \sin(ax)$

$\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C$

(3) $f(x) = x\cos x$

部分積分を行います。$u = x$、$dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$、$v = \sin x$ となります。

$\int x\cos x dx = x\sin x - \int \sin x dx = x\sin x + \cos x + C$

(4) $f(x) = xe^x$

部分積分を行います。$u = x$、$dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$、$v = e^x$ となります。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$

(5) $f(x) = \sqrt[3]{2x-3} = (2x-3)^{\frac{1}{3}}$

置換積分を行います。$u = 2x - 3$ と置くと、$du = 2dx$、つまり $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

$\int (2x-3)^{\frac{1}{3}} dx = \int u^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{8}(2x-3)^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{8}\sqrt[3]{(2x-3)^4} + C$

(6) $f(x) = \log x$

部分積分を行います。$u = \log x$、$dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$、$v = x$ となります。

$\int \log x dx = x\log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\log x - \int 1 dx = x\log x - x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (3x-1)^5 dx = \frac{1}{18}(3x-1)^6 + C$

(2) $\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C$

(3) $\int x\cos x dx = x\sin x + \cos x + C$

(4) $\int xe^x dx = (x-1)e^x + C$

(5) $\int \sqrt[3]{2x-3} dx = \frac{3}{8}(2x-3)^{\frac{4}{3}} + C$

(6) $\int \log x dx = x\log x - x + C$