(1) 不等式 $1 - \frac{n-1}{3} > \frac{n}{4}$ を満たす最大の自然数 $n$ の値を求める。 (2) 連立不等式 $\begin{cases} 2(x+1) \geq 5x-2 \\ -5x < -3x + 4 \end{cases}$ を満たす整数 $x$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $1 - \frac{n-1}{3} > \frac{n}{4}$ を満たす最大の自然数 $n$ の値を求める。

(2) 連立不等式

$\begin{cases} 2(x+1) \geq 5x-2 \\ -5x < -3x + 4 \end{cases}$

を満たす整数 $x$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $1 - \frac{n-1}{3} > \frac{n}{4}$ を解く。

まず、両辺に12を掛けて分母を払う。

$12 - 4(n-1) > 3n$

$12 - 4n + 4 > 3n$

$16 - 4n > 3n$

$16 > 7n$

$n < \frac{16}{7}$

$\frac{16}{7} = 2\frac{2}{7}$ であるから、この不等式を満たす最大の自然数 $n$ は 2 である。

(2) 連立不等式を解く。

まず、一つ目の不等式 $2(x+1) \geq 5x-2$ を解く。

$2x + 2 \geq 5x - 2$

$4 \geq 3x$

$x \leq \frac{4}{3}$

次に、二つ目の不等式 $-5x < -3x + 4$ を解く。

$-2x < 4$

$x > -2$

したがって、連立不等式は $-2 < x \leq \frac{4}{3}$ となる。

$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ であるから、この範囲にある整数 $x$ は、$-1, 0, 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $n = 2$

(2) $x = -1, 0, 1$