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ある放物線を、$x$軸方向に-1、$y$軸方向に-3だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動すると、放物線 $y = x^2 - 6x + 7$ になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

代数学放物線平行移動対称移動二次関数グラフ
2025/6/17

1. 問題の内容

ある放物線を、xx軸方向に-1、yy軸方向に-3だけ平行移動し、さらにxx軸に関して対称移動すると、放物線 y=x2−6x+7y = x^2 - 6x + 7 になった。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた放物線 y=x2−6x+7y = x^2 - 6x + 7 をxx軸に関して対称移動する前の放物線の方程式を求める。xx軸に関して対称移動すると、yyの値の符号が変わるため、対称移動前の放物線の方程式は −y=x2−6x+7-y = x^2 - 6x + 7 となる。これを整理すると、
y=−x2+6x−7y = -x^2 + 6x - 7
次に、xx軸方向に-1、yy軸方向に-3だけ平行移動する前の放物線の方程式を求める。平行移動する前の放物線の式を y=f(x)y = f(x) とすると、平行移動後の放物線の式は y+3=f(x+1)y + 3 = f(x+1) となる。今回の問題では、平行移動後の放物線が y=−x2+6x−7y = -x^2 + 6x - 7 であるので、y+3=−x2+6x−7y + 3 = -x^2 + 6x - 7 を、yy について解くと、y=−x2+6x−10y = -x^2 + 6x - 10 となる。したがって、f(x+1)=−x2+6x−10f(x+1) = -x^2 + 6x - 10 である。ここで、x+1=tx+1 = t とおくと、x=t−1x = t-1 となるから、f(t)=−(t−1)2+6(t−1)−10f(t) = -(t-1)^2 + 6(t-1) - 10 となる。整理すると、
f(t)=−(t2−2t+1)+6t−6−10=−t2+2t−1+6t−16=−t2+8t−17f(t) = -(t^2 - 2t + 1) + 6t - 6 - 10 = -t^2 + 2t - 1 + 6t - 16 = -t^2 + 8t - 17
したがって、もとの放物線の方程式は
y=−x2+8x−17y = -x^2 + 8x - 17
となる。

3. 最終的な答え

y=−x2+8x−17y = -x^2 + 8x - 17

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