2次方程式 $x^2 - (m-1)x + m = 0$ の2つの解の比が2:3であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (m-1)x + m = 0$ の2つの解の比が2:3であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める。

2. 解き方の手順

2つの解を $2\alpha$、$3\alpha$ とおく。

解と係数の関係から、

2つの解の和は $m-1$ であり、

2つの解の積は $m$ である。

したがって、

$2\alpha + 3\alpha = m-1$

$5\alpha = m-1$ ...(1)

$(2\alpha)(3\alpha) = m$

$6\alpha^2 = m$ ...(2)

(1)より、$m = 5\alpha + 1$

これを(2)に代入して、

$6\alpha^2 = 5\alpha + 1$

$6\alpha^2 - 5\alpha - 1 = 0$

$(6\alpha + 1)(\alpha - 1) = 0$

したがって、$\alpha = 1$ または $\alpha = -\frac{1}{6}$

(i) $\alpha = 1$ のとき、

$m = 5(1) + 1 = 6$

2つの解は、 $2(1) = 2$、$3(1) = 3$

(ii) $\alpha = -\frac{1}{6}$ のとき、

$m = 5(-\frac{1}{6}) + 1 = -\frac{5}{6} + 1 = \frac{1}{6}$

2つの解は、$2(-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{3}$、$3(-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$m = 6$ のとき、2つの解は $2, 3$

$m = \frac{1}{6}$ のとき、2つの解は $-\frac{1}{3}, -\frac{1}{2}$