与えられた2次関数 $y = -x^2 + 2x + 2$ (①)のグラフをx軸方向に$p$, y軸方向に$q$だけ平行移動したグラフを持つ2次関数 $y = f(x)$ (②)について、以下の問いに答える問題です。 (1) $2 \le x \le 4$ における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲と、最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲を求める。 (2) ②のグラフが点$(-2, 0)$を通るときの$q$を$p$で表し、$f(x)$を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 + 2x + 2$ (①)のグラフをx軸方向に$p$, y軸方向に$q$だけ平行移動したグラフを持つ2次関数 $y = f(x)$ (②)について、以下の問いに答える問題です。

(1) $2 \le x \le 4$ における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲と、最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲を求める。

(2) ②のグラフが点$(-2, 0)$を通るときの$q$を$p$で表し、$f(x)$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、①のグラフの頂点を求める。$y = -x^2 + 2x + 2 = -(x^2 - 2x) + 2 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 2 = -(x - 1)^2 + 3$ より、①のグラフの頂点は$(1, 3)$である。

したがって、ア$=1$, イ$=3$。

②のグラフの頂点は$(1+p, 3+q)$となる。

$f(x) = -(x - (1+p))^2 + 3+q = -(x^2 - 2(1+p)x + (1+p)^2) + 3+q = -x^2 + 2(1+p)x - (1+p)^2 + 3+q$.

$2 \le x \le 4$ における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるのは、頂点のx座標$1+p$が$1+p \ge \frac{2+4}{2}=3$, すなわち$p \ge 2$のとき。

$2 \le x \le 4$ における$f(x)$の最小値が$f(2)$になるのは、頂点のx座標$1+p$が$1+p \le \frac{2+4}{2}=3$, すなわち$p \le 2$のとき。

$2 \le x \le 4$ における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は$p \ge 2$。したがって、ウは$2$（以上）, エ$=2$.

$2 \le x \le 4$ における$f(x)$の最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲を考える。頂点のx座標が区間$[2, 4]$の中央、すなわち3よりも大きい場合に$x=2$で最小値を取る。

頂点のx座標が3より小さい場合に$x=2$で最小値を取るのは、頂点のx座標が3の場合を含む。つまり、頂点のx座標が$1+p \le 3$, すなわち$p \le 2$.

よって、$p \le 2$が条件なので、オは$3$（以下）, カ$=2$.

(2)

②のグラフが点$(-2, 0)$を通るとき、$f(-2) = 0$。

$f(x) = -(x - (1+p))^2 + 3+q$より、$f(-2) = -(-2 - (1+p))^2 + 3+q = -( -3-p)^2 + 3+q = -(p+3)^2 + 3+q = -(p^2+6p+9) + 3+q = -p^2 - 6p - 6 + q = 0$。

したがって、$q = p^2 + 6p + 6$.

したがって、キ$=6$, ク$=6$.

$f(x) = -x^2 + 2(1+p)x - (1+p)^2 + 3 + p^2 + 6p + 6 = -x^2 + 2(1+p)x - (1+2p+p^2) + p^2 + 6p + 9 = -x^2 + 2(1+p)x + 4p + 8$.

$f(x) = 0$となる$x$を求めると、$x = \frac{-2(1+p) \pm \sqrt{4(1+p)^2 - 4(-1)(4p+8)}}{-2} = \frac{2(1+p) \pm \sqrt{4(1+2p+p^2) + 16p + 32}}{2} = \frac{2(1+p) \pm \sqrt{4(p^2 + 6p + 9)}}{2} = \frac{2(1+p) \pm 2(p+3)}{2} = 1+p \pm (p+3)$.

$x_1 = 1+p + (p+3) = 2p + 4$

$x_2 = 1+p - (p+3) = -2$

よって、$f(x) = -(x+2)(x - (2p+4))$. したがって、ケ$=2$, コ$=2$, サ$=4$.

3. 最終的な答え

ア$=1$, イ$=3$, ウ$=2$, エ$=2$, オ$=3$, カ$=2$, キ$=6$, ク$=6$, ケ$=2$, コ$=2$, サ$=4$.