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2次関数 $y = -x^2 + 2x + 2$ のグラフを①とする。 ①の頂点の座標を求める。 また、$y = f(x)$を②とし、②は①のグラフをx軸方向に$p$, y軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする。 (1) $2 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値が $f(2)$ になるような$p$の値の範囲を求める。また、最小値が $f(2)$になるような$p$の値の範囲を求める。 (2) ②のグラフが点(-2, 0)を通るとき、$q$を$p$で表す。また、$f(x)$を求める。

代数学二次関数グラフの平行移動最大値最小値
2025/6/17

1. 問題の内容

2次関数 y=−x2+2x+2y = -x^2 + 2x + 2 のグラフを①とする。
①の頂点の座標を求める。
また、y=f(x)y = f(x)を②とし、②は①のグラフをx軸方向にpp, y軸方向にqqだけ平行移動したものであるとする。
(1) 2≤x≤42 \le x \le 4 における f(x)f(x) の最大値が f(2)f(2) になるようなppの値の範囲を求める。また、最小値が f(2)f(2)になるようなppの値の範囲を求める。
(2) ②のグラフが点(-2, 0)を通るとき、qqをppで表す。また、f(x)f(x)を求める。

2. 解き方の手順

まず、①の式を平方完成する。
y=−x2+2x+2=−(x2−2x)+2=−(x2−2x+1−1)+2=−(x−1)2+1+2=−(x−1)2+3y = -x^2 + 2x + 2 = -(x^2 - 2x) + 2 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2 = -(x - 1)^2 + 1 + 2 = -(x - 1)^2 + 3
よって、①の頂点の座標は(1, 3)である。したがって、ア=1, イ=3。
次に、②の関数f(x)f(x)は、①をx軸方向にpp, y軸方向にqqだけ平行移動したものなので、
f(x)=−(x−p−1)2+3+qf(x) = -(x - p - 1)^2 + 3 + q
2≤x≤42 \le x \le 4 におけるf(x)f(x)の最大値がf(2)f(2)になるのは、2≤p+12 \le p+1つまりp≥1p \ge 1のときである。よって、ウは0。
2≤x≤42 \le x \le 4 におけるf(x)f(x)の最小値がf(2)f(2)になるのは、p+1≥2+42=3p + 1 \ge \frac{2+4}{2}=3つまりp≥2p \ge 2のときである。よって、エは2。
2≤x≤42 \le x \le 4 におけるf(x)f(x)の最小値がf(2)f(2)になるのは、4≤p+14 \le p+1つまりp≥3p \ge 3のときである。したがって、最小値がf(2)f(2)となるのはp≥3p \ge 3である。
したがって、p≥3p \ge 3のときf(2)f(2)が最小値になる。
2≤x≤42 \le x \le 4 におけるf(x)f(x)の最大値がf(2)f(2)になるのは、p+1≥2p + 1 \ge 2を満たすときである。
p≥1p \ge 1
f(x)=−(x−p−1)2+3+qf(x) = -(x - p - 1)^2 + 3 + q
x=2x = 2のとき、f(2)=−(2−p−1)2+3+q=−(1−p)2+3+qf(2) = -(2 - p - 1)^2 + 3 + q = -(1 - p)^2 + 3 + q
p+1≥4p + 1 \ge 4のとき、p≥3p \ge 3のとき、f(4)f(4)が最小値になる。f(4)=−(4−p−1)2+3+q=−(3−p)2+3+qf(4) = -(4 - p - 1)^2 + 3 + q = -(3 - p)^2 + 3 + q
p=3p = 3のとき、f(2)=−(1−3)2+3+q=−4+3+q=−1+qf(2) = -(1 - 3)^2 + 3 + q = -4 + 3 + q = -1 + q, f(4)=3+qf(4) = 3 + q
したがって、p≥3p \ge 3のとき、f(2)f(2)が最小値になる。したがって、オは3、カはキ（該当なし）。
(2) ②のグラフが点(-2, 0)を通るとき、
f(−2)=−(−2−p−1)2+3+q=0f(-2) = -(-2 - p - 1)^2 + 3 + q = 0
−(−3−p)2+3+q=0-(-3 - p)^2 + 3 + q = 0
−(p2+6p+9)+3+q=0-(p^2 + 6p + 9) + 3 + q = 0
−p2−6p−9+3+q=0-p^2 - 6p - 9 + 3 + q = 0
q=p2+6p+6q = p^2 + 6p + 6
したがって、キ=6、ク=6。
f(x)=−(x−p−1)2+3+p2+6p+6=−(x−p−1)2+p2+6p+9f(x) = -(x - p - 1)^2 + 3 + p^2 + 6p + 6 = -(x - p - 1)^2 + p^2 + 6p + 9
f(x)=−(x−p−1)2+(p+3)2f(x) = -(x - p - 1)^2 + (p + 3)^2
f(x)=−(x+2)(x−α)f(x) = -(x + 2)(x - \alpha)
f(x)=−(x−(p+1))(x−a)f(x) = -(x - (p + 1))(x-a)
q=p2+6p+6q = p^2+6p+6
f(x)=−(x−p−1)2+3+q=−(x−p−1)2+3+p2+6p+6=−(x−p−1)2+p2+6p+9=−(x−p−1)2+(p+3)2f(x) = -(x - p - 1)^2 + 3 + q = -(x - p - 1)^2 + 3 + p^2 + 6p + 6 = -(x - p - 1)^2 + p^2 + 6p + 9 = -(x - p - 1)^2 + (p + 3)^2
f(x)=−(x+2)(x−α)=−(x2+(2−α)x−2α)f(x) = -(x + 2)(x - \alpha) = -(x^2 + (2 - \alpha)x - 2\alpha)
f(−2)=0f(-2)=0より、f(x)=0f(x)=0の解は−2-2と2p−12p-1
−2−1=−3-2 -1=-3

3. 最終的な答え

ア=1, イ=3
ウ: 0 (p≥1p \ge 1)
エ: 1
オ: 3
カ: キ（該当なし）
キ: 6
ク: 6
ケ: 2
コ: 1
サ: 3

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