問題は、与えられた複素数の方程式 $x^2 + (1-i)x + 2ab + (-2a)i = 0$ を満たす実数 $a, b$ が存在するための、実数 $x$ の値の範囲を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた複素数の方程式 $x^2 + (1-i)x + 2ab + (-2a)i = 0$ を満たす実数 $a, b$ が存在するための、実数 $x$ の値の範囲を求めるものです。

2. 解き方の手順

複素数の方程式 $x^2 + (1-i)x + 2ab + (-2a)i = 0$ を実部と虚部に分けて考えます。実数 $x$ に対して、

$x^2 + x + 2ab = 0$ (実部)

$-x - 2a = 0$ (虚部)

虚部の式より、$x = -2a$ となります。これを実部の式に代入します。

$x^2 + x + 2ab = 0$

$x^2 + x + 2b(-\frac{x}{2}) = 0$

$x^2 + x - bx = 0$

$x^2 + (1-b)x = 0$

$x(x + 1 - b) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x = b - 1$ となります。

ここで、$b$ は実数なので、$x = b-1$ も実数となります。

$x = -2a$ より、$a = -\frac{x}{2}$ であるから、$a$ は実数であればよい。

$b$ は実数であればよいので、条件はありません。

以上より、$x = 0$ または $x = b - 1$ です。 $b$ は任意の実数なので、$x$ は $-1$ 以上の任意の実数をとることができます。つまり、$x \ge -1$ です。

$x=0$ は、$x \ge -1$を満たすので、$x = 0$の場合も考えられます。

まとめると、$x = 0$ または $x = b-1$ (bは実数)　より、$x \ge -1$

3. 最終的な答え

$x \ge -1$