$a$ を正の定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 2x$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 2x$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = 2x^2 - 2x$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - x) = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$

この関数のグラフは下に凸の放物線で、軸は $x = \frac{1}{2}$ です。定義域は $0 \le x \le a$ です。

$a$ の値によって場合分けをして考えます。

(i) $0 < a < \frac{1}{2}$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、関数は単調減少します。よって、最大値は $x = 0$ のときにとり、最大値は $y = 2(0)^2 - 2(0) = 0$ です。

(ii) $a = \frac{1}{2}$ のとき

定義域 $0 \le x \le \frac{1}{2}$ において、関数は $x = 0$ で最大値をとります。最大値は $y = 2(0)^2 - 2(0) = 0$ です。

(iii) $\frac{1}{2} < a < 1$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、$x = 0$ での $y$ の値は $0$ で、$x = a$ での $y$ の値は $2a^2 - 2a = 2a(a-1)$ となります。$a < 1$ なので、$2a(a-1) < 0$。よって、$x=0$ のときに最大値$0$をとります。

(iv) $a = 1$ のとき

定義域 $0 \le x \le 1$ において、$x = 0$ での $y$ の値は $0$ で、$x = 1$ での $y$ の値は $2(1)^2 - 2(1) = 0$ となります。この場合、x=0, 1で最大値0を取ります。

(v) $a > 1$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、$x = a$ での $y$ の値は $2a^2 - 2a$ で、$x = 0$ での $y$ の値は $0$ です。ここで、$2a^2 - 2a = 2a(a-1)$ で、$a > 1$ なので、$2a^2 - 2a > 0$ となります。よって、最大値は $x = a$ のときにとり、最大値は $y = 2a^2 - 2a$ です。

まとめると、

- $0 < a \le 1$ のとき、最大値は $0$ で、$x = 0$

- $a > 1$ のとき、最大値は $2a^2 - 2a$ で、$x = a$

3. 最終的な答え

- $0 < a \le 1$ のとき、最大値は $0$ で、$x = 0$

- $a > 1$ のとき、最大値は $2a^2 - 2a$ で、$x = a$