この問題は、与えられた行列の行列式、転置行列の行列式、定数倍した行列の行列式、行列の積の行列式を計算する問題です。具体的には、問題1と問題2の2つのパートに分かれています。 問題1では、$2 \times 2$ の行列 $A$ と $B$ が与えられ、それらに関する行列式を求めます。 問題2では、$3 \times 3$ または $4 \times 4$ の行列 $A, B, C, D$ が与えられ、それらに関する行列式を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、与えられた行列の行列式、転置行列の行列式、定数倍した行列の行列式、行列の積の行列式を計算する問題です。具体的には、問題1と問題2の2つのパートに分かれています。

問題1では、$2 \times 2$ の行列 $A$ と $B$ が与えられ、それらに関する行列式を求めます。

問題2では、$3 \times 3$ または $4 \times 4$ の行列 $A, B, C, D$ が与えられ、それらに関する行列式を求めます。

2. 解き方の手順

**問題1**

* **|A|**：行列Aの行列式は、

$|A| = (9 \times -4) - (8 \times -5) = -36 + 40 = 4$

* **|B|**：行列Bの行列式は、

$|B| = (4 \times 4) - (-5 \times -2) = 16 - 10 = 6$

* **|A'|**：行列Aの転置行列A'の行列式は、|A'| = |A|なので、

$|A'| = 4$

* **|B'|**：行列Bの転置行列B'の行列式は、|B'| = |B|なので、

$|B'| = 6$

* **|-3A|**：行列Aを-3倍した行列の行列式は、行列のサイズが $2\times2$なので、

$|-3A| = (-3)^2 |A| = 9 \times 4 = 36$

* **|-(1/2)B|**：行列Bを-(1/2)倍した行列の行列式は、行列のサイズが $2\times2$なので、

$|-(1/2)B| = (-\frac{1}{2})^2 |B| = \frac{1}{4} \times 6 = \frac{3}{2} = 1.5$

* **|AB|**：行列AとBの積の行列式は、|AB| = |A||B|なので、

$|AB| = 4 \times 6 = 24$

* **|BA|**：行列BとAの積の行列式は、|BA| = |B||A|なので、

$|BA| = 6 \times 4 = 24$

**問題2**

* **|A|**：行列Aの行列式は、

$|A| = 0 \times (0\times 0 - 1 \times -3) - (-4) \times (-3 \times 0 - 1 \times 2) + (-1) \times (-3 \times -3 - 0 \times 2) = 0 + 4(-2) - (9) = -8 - 9 = -17$

* **|B|**：行列Bの行列式は、

$|B| = -4 \times (1 \times 3 - 0 \times 3) - 0 \times (1 \times 3 - (-3) \times 0) + 0 \times (1 \times 3 - (-3) \times 1) = -4 \times 3 = -12$

* **|C|**：行列Cの行列式は、

$|C| = -3 \times (-3 \times -2 - 1 \times -2) - (-3) \times (0 \times -2 - 1 \times 0) + 1 \times (0 \times -2 - (-3) \times 0) = -3 \times (6 + 2) + 3 \times 0 + 1 \times 0 = -3 \times 8 = -24$

* **|D|**：行列Dの行列式は、

$|D| = 0 \times ... - (-1) \times ((-1) \times (-1) - (-3) \times 1 - 4 \times 1) + 4 \times ((-1) \times 1 - (-3) \times 1 - 1 \times 1) = 1 \times (1 + 3 - 4) + 4 \times (-1 + 3 - 1) = 0 + 4 \times 1 = 4$

3. 最終的な答え

**問題1**

* |A| = 4

* |B| = 6

* |A'| = 4

* |B'| = 6

* |-3A| = 36

* |-(1/2)B| = 1.5

* |AB| = 24

* |BA| = 24

**問題2**

* |A| = -17

* |B| = -12

* |C| = -24

* |D| = 4