次の方程式と不等式を解く問題です。 (1) $|x-3| = 2x$ (2) $|x-4| \le 2x+1$ (3) $|x+1| > 5x$

1. 問題の内容

次の方程式と不等式を解く問題です。

(1) $|x-3| = 2x$

(2) $|x-4| \le 2x+1$

(3) $|x+1| > 5x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$ の解き方：

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x-3 \ge 0$ すなわち $x \ge 3$ のとき、

$x-3 = 2x$

$-3 = x$

これは、$x \ge 3$ を満たさないので不適です。

(ii) $x-3 < 0$ すなわち $x < 3$ のとき、

$-(x-3) = 2x$

$-x+3 = 2x$

$3 = 3x$

$x = 1$

これは、$x < 3$ を満たすので解です。

ただし、$2x \ge 0$ である必要があるので、$x \ge 0$を満たす必要があります。

$x=1$ はこれを満たすので解です。

(2) $|x-4| \le 2x+1$ の解き方：

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x-4 \ge 0$ すなわち $x \ge 4$ のとき、

$x-4 \le 2x+1$

$-5 \le x$

$x \ge -5$

$x \ge 4$ と $x \ge -5$ の共通範囲は $x \ge 4$ です。

(ii) $x-4 < 0$ すなわち $x < 4$ のとき、

$-(x-4) \le 2x+1$

$-x+4 \le 2x+1$

$3 \le 3x$

$1 \le x$

$x \ge 1$

$x < 4$ と $x \ge 1$ の共通範囲は $1 \le x < 4$ です。

(i), (ii) を合わせて、$1 \le x < 4$ または $x \ge 4$ なので、$x \ge 1$ です。

ただし、$2x+1 \ge 0$ である必要があるので、$x \ge -\frac{1}{2}$を満たす必要があります。

これは$x \ge 1$を満たしています。

(3) $|x+1| > 5x$ の解き方：

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x+1 \ge 0$ すなわち $x \ge -1$ のとき、

$x+1 > 5x$

$1 > 4x$

$x < \frac{1}{4}$

$x \ge -1$ と $x < \frac{1}{4}$ の共通範囲は $-1 \le x < \frac{1}{4}$ です。

(ii) $x+1 < 0$ すなわち $x < -1$ のとき、

$-(x+1) > 5x$

$-x-1 > 5x$

$-1 > 6x$

$x < -\frac{1}{6}$

$x < -1$ と $x < -\frac{1}{6}$ の共通範囲は $x < -1$ です。

(i), (ii) を合わせて、$x < -1$ または $-1 \le x < \frac{1}{4}$ なので、$x < \frac{1}{4}$ です。

ただし、$5x$は正または0である必要はないので、追加の条件はありません。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$

(2) $x \ge 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$