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連立一次方程式 $ \begin{cases} -4x_1 - 3x_2 = -1 \\ 3x_1 + 2x_2 = 1 \end{cases} $ において、係数行列を $A$、変数ベクトルを $x$、定数ベクトルを $b$ とするとき、以下の連立一次方程式の解 $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ を求める問題です。 * $Ax = b$ * $A^Tx = b$ * $A^TAx = b$ * $AA^Tx = b$

代数学線形代数連立一次方程式行列転置行列
2025/6/17

1. 問題の内容

連立一次方程式
\begin{cases}
-4x_1 - 3x_2 = -1 \\
3x_1 + 2x_2 = 1
\end{cases}
において、係数行列を AA、変数ベクトルを xx、定数ベクトルを bb とするとき、以下の連立一次方程式の解 x=[x1x2]x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} を求める問題です。
* Ax=bAx = b
* ATx=bA^Tx = b
* ATAx=bA^TAx = b
* AATx=bAA^Tx = b

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式から係数行列 AA と定数ベクトル bb を求めます。
A=[−4−332]A = \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, b=[−11]b = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}
次に、それぞれの連立一次方程式を解きます。
(1) Ax=bAx = b を解く。
\begin{bmatrix} -4 & -3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}
この連立一次方程式は、与えられたものと同じなので、解は以下のようになります。
-4x_1 - 3x_2 = -1 \\
3x_1 + 2x_2 = 1
上の式を3倍、下の式を4倍して足し合わせると
-12x_1 - 9x_2 + 12x_1 + 8x_2 = -3 + 4
-x_2 = 1
x_2 = -1
これを 3x1+2x2=13x_1 + 2x_2 = 1 に代入すると
3x_1 + 2(-1) = 1 \\
3x_1 = 3 \\
x_1 = 1
よって、x1=1,x2=−1x_1 = 1, x_2 = -1
(2) ATx=bA^Tx = b を解く。
AT=[−43−32]A^T = \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} なので、
\begin{bmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}
-4x_1 + 3x_2 = -1 \\
-3x_1 + 2x_2 = 1
上の式を2倍、下の式を-3倍して足し合わせると
-8x_1 + 6x_2 + 9x_1 - 6x_2 = -2 - 3
x_1 = -5
これを −3x1+2x2=1-3x_1 + 2x_2 = 1 に代入すると
-3(-5) + 2x_2 = 1 \\
15 + 2x_2 = 1 \\
2x_2 = -14 \\
x_2 = -7
よって、x1=−5,x2=−7x_1 = -5, x_2 = -7
(3) ATAx=bA^TAx = b を解く。
ATA=[−43−32][−4−332]=[16+912+612+69+4]=[25181813]A^TA = \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16+9 & 12+6 \\ 12+6 & 9+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & 18 \\ 18 & 13 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 25 & 18 \\ 18 & 13 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}
25x_1 + 18x_2 = -1 \\
18x_1 + 13x_2 = 1
上の式を13倍、下の式を-18倍して足し合わせると
325x_1 + 234x_2 - 324x_1 - 234x_2 = -13 - 18
x_1 = -31
これを 18x1+13x2=118x_1 + 13x_2 = 1 に代入すると
18(-31) + 13x_2 = 1 \\
-558 + 13x_2 = 1 \\
13x_2 = 559 \\
x_2 = 43
よって、x1=−31,x2=43x_1 = -31, x_2 = 43
(4) AATx=bAA^Tx = b を解く。
AAT=[−4−332][−43−32]=[16+9−12−6−12−69+4]=[25−18−1813]AA^T = \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16+9 & -12-6 \\ -12-6 & 9+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & -18 \\ -18 & 13 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 25 & -18 \\ -18 & 13 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}
25x_1 - 18x_2 = -1 \\
-18x_1 + 13x_2 = 1
上の式を13倍、下の式を18倍して足し合わせると
325x_1 - 234x_2 - 324x_1 + 234x_2 = -13 + 18
x_1 = 5
これを −18x1+13x2=1-18x_1 + 13x_2 = 1 に代入すると
-18(5) + 13x_2 = 1 \\
-90 + 13x_2 = 1 \\
13x_2 = 91 \\
x_2 = 7
よって、x1=5,x2=7x_1 = 5, x_2 = 7

3. 最終的な答え

* Ax=bAx = b の解は、x1=1,x2=−1x_1 = 1, x_2 = -1
* ATx=bA^Tx = b の解は、x1=−5,x2=−7x_1 = -5, x_2 = -7
* ATAx=bA^TAx = b の解は、x1=−31,x2=43x_1 = -31, x_2 = 43
* AATx=bAA^Tx = b の解は、x1=5,x2=7x_1 = 5, x_2 = 7

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