与えられた連立一次方程式について、係数行列 $A$、定数ベクトル $b$ を定義し、$A$ の第 $i$ 列を $b$ で置き換えた行列を $A_i$ とします。 - 最初の連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} -4x_1 - 7x_2 = -7 \\ 4x_1 + 5x_2 = 6 \end{cases} $ この連立一次方程式について、$|A_1|$、$|A_2|$、$x_1$、$x_2$ を求める必要があります。 $|A_1|$ は $A$ の第 1 列を $b$ で置き換えた行列の行列式を表します。 $|A_2|$ は $A$ の第 2 列を $b$ で置き換えた行列の行列式を表します。 - 二番目の連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} -4x_1 + 3x_2 + x_3 = 2 \\ -2x_1 - x_2 + 2x_3 = 1 \\ x_1 - 8x_2 + 4x_3 = 0 \end{cases} $ この連立一次方程式について、$|A_1|$、$|A_2|$、$|A_3|$、$x_1$、$x_2$、$x_3$ を求める必要があります。 $|A_1|$ は $A$ の第 1 列を $b$ で置き換えた行列の行列式を表します。 $|A_2|$ は $A$ の第 2 列を $b$ で置き換えた行列の行列式を表します。 $|A_3|$ は $A$ の第 3 列を $b$ で置き換えた行列の行列式を表します。

## 連立一次方程式の問題

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式について、係数行列 $A$、定数ベクトル $b$ を定義し、$A$ の第 $i$ 列を $b$ で置き換えた行列を $A_i$ とします。

- 最初の連立一次方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

-4x_1 - 7x_2 = -7 \\

4x_1 + 5x_2 = 6

\end{cases}

$$

この連立一次方程式について、$|A_1|$、$|A_2|$、$x_1$、$x_2$ を求める必要があります。

$|A_1|$ は $A$ の第 1 列を $b$ で置き換えた行列の行列式を表します。

$|A_2|$ は $A$ の第 2 列を $b$ で置き換えた行列の行列式を表します。

- 二番目の連立一次方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

-4x_1 + 3x_2 + x_3 = 2 \\

-2x_1 - x_2 + 2x_3 = 1 \\

x_1 - 8x_2 + 4x_3 = 0

\end{cases}

$$

この連立一次方程式について、$|A_1|$、$|A_2|$、$|A_3|$、$x_1$、$x_2$、$x_3$ を求める必要があります。

$|A_1|$ は $A$ の第 1 列を $b$ で置き換えた行列の行列式を表します。

$|A_2|$ は $A$ の第 2 列を $b$ で置き換えた行列の行列式を表します。

$|A_3|$ は $A$ の第 3 列を $b$ で置き換えた行列の行列式を表します。

2. 解き方の手順

**最初の連立一次方程式**

* $|A|$ を求める。

$A = \begin{pmatrix} -4 & -7 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$

$|A| = (-4)(5) - (-7)(4) = -20 + 28 = 8$

* $|A_1|$ を求める。

$A_1 = \begin{pmatrix} -7 & -7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}$

$|A_1| = (-7)(5) - (-7)(6) = -35 + 42 = 7$

* $|A_2|$ を求める。

$A_2 = \begin{pmatrix} -4 & -7 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$

$|A_2| = (-4)(6) - (-7)(4) = -24 + 28 = 4$

* クラメルの公式を用いて、$x_1$、$x_2$ を求める。

$x_1 = \frac{|A_1|}{|A|} = \frac{7}{8}$

$x_2 = \frac{|A_2|}{|A|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

**二番目の連立一次方程式**

* $|A|$ を求める。

$A = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 1 \\ -2 & -1 & 2 \\ 1 & -8 & 4 \end{pmatrix}$

$|A| = -4((-1)(4) - (2)(-8)) - 3((-2)(4) - (2)(1)) + 1((-2)(-8) - (-1)(1))$

$= -4(-4 + 16) - 3(-8 - 2) + (16 + 1) = -4(12) - 3(-10) + 17 = -48 + 30 + 17 = -1$

* $|A_1|$ を求める。

$A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & -8 & 4 \end{pmatrix}$

$|A_1| = 2((-1)(4) - (2)(-8)) - 3((1)(4) - (2)(0)) + 1((1)(-8) - (-1)(0)) = 2(-4+16) - 3(4) + (-8) = 24 - 12 - 8 = 4$

* $|A_2|$ を求める。

$A_2 = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

$|A_2| = -4((1)(4) - (2)(0)) - 2((-2)(4) - (2)(1)) + 1((-2)(0) - (1)(1)) = -4(4) - 2(-8-2) + (-1) = -16 + 20 - 1 = 3$

* $|A_3|$ を求める。

$A_3 = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & -8 & 0 \end{pmatrix}$

$|A_3| = -4((-1)(0) - (1)(-8)) - 3((-2)(0) - (1)(1)) + 2((-2)(-8) - (-1)(1)) = -4(8) - 3(-1) + 2(16+1) = -32 + 3 + 34 = 5$

* クラメルの公式を用いて、$x_1$、$x_2$、$x_3$ を求める。

$x_1 = \frac{|A_1|}{|A|} = \frac{4}{-1} = -4$

$x_2 = \frac{|A_2|}{|A|} = \frac{3}{-1} = -3$

$x_3 = \frac{|A_3|}{|A|} = \frac{5}{-1} = -5$

3. 最終的な答え

**最初の連立一次方程式**

* $|A_1| = 7$

* $|A_2| = 4$

* $x_1 = \frac{7}{8}$

* $x_2 = \frac{1}{2}$

**二番目の連立一次方程式**

* $|A_1| = 4$

* $|A_2| = 3$

* $|A_3| = 5$

* $x_1 = -4$

* $x_2 = -3$

* $x_3 = -5$