問題は、集合のド・モルガンの法則 $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ を、$xy$平面を用いて示すことです。

1. 問題の内容

問題は、集合のド・モルガンの法則 $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ を、$xy$平面を用いて示すことです。

2. 解き方の手順

$xy$平面における領域を用いて集合を表し、ド・モルガンの法則が成り立つことを図示します。

(1) 集合 $A$ と $B$ を、$xy$ 平面上の領域として定義します。 例えば、$A = \{(x, y) | f(x, y) \le 0 \}$、$B = \{(x, y) | g(x, y) \le 0 \}$ のように表現できます。ここで、$f(x,y)$ と $g(x,y)$ は適当な関数です。

(2) 集合 $A \cap B$ を求めます。 これは、$A$ と $B$ の共通部分なので、$A \cap B = \{(x, y) | f(x, y) \le 0 \text{ かつ } g(x, y) \le 0 \}$ となります。

(3) 集合 $\overline{A \cap B}$ を求めます。 これは、$A \cap B$ の補集合なので、$\overline{A \cap B} = \{(x, y) | f(x, y) > 0 \text{ または } g(x, y) > 0 \}$ となります。

(4) 集合 $\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。 これらはそれぞれ、$A$ と $B$ の補集合なので、$\overline{A} = \{(x, y) | f(x, y) > 0 \}$、$\overline{B} = \{(x, y) | g(x, y) > 0 \}$ となります。

(5) 集合 $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求めます。 これは、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合なので、$\overline{A} \cup \overline{B} = \{(x, y) | f(x, y) > 0 \text{ または } g(x, y) > 0 \}$ となります。

(6) (3) と (5) の結果を比較します。 $\overline{A \cap B} = \{(x, y) | f(x, y) > 0 \text{ または } g(x, y) > 0 \}$ と $\overline{A} \cup \overline{B} = \{(x, y) | f(x, y) > 0 \text{ または } g(x, y) > 0 \}$ が一致することから、ド・モルガンの法則 $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が、$xy$平面における領域を用いて示されたことになります。

具体的な関数の例として、$A = \{(x,y) | x \le 1\}$、$B = \{(x,y) | y \le 1\}$ とすると、

$A \cap B = \{(x,y) | x \le 1 \text{ かつ } y \le 1\}$

$\overline{A \cap B} = \{(x,y) | x > 1 \text{ または } y > 1\}$

$\overline{A} = \{(x,y) | x > 1\}$

$\overline{B} = \{(x,y) | y > 1\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{(x,y) | x > 1 \text{ または } y > 1\}$

この例からも、$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ が成り立つことがわかります。

3. 最終的な答え

ド・モルガンの法則 $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ は、$xy$平面を用いて示すことができました。