二次関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ の $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -3x^2 - 4x + 2 = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 2$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2) + 2$

$y = -3((x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3}$

したがって、頂点の座標は $(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$ です。

定義域 $-1 \le x \le 0$ における最大値と最小値を求めます。

$x = -\frac{2}{3}$ は $-1 \le x \le 0$ の範囲に含まれるので、頂点のy座標が候補となります。

$x = -\frac{2}{3}$ のとき、$y = \frac{10}{3}$ です。

次に、定義域の端点におけるyの値を計算します。

$x = -1$ のとき、$y = -3(-1)^2 - 4(-1) + 2 = -3 + 4 + 2 = 3$

$x = 0$ のとき、$y = -3(0)^2 - 4(0) + 2 = 2$

したがって、$x = -\frac{2}{3}$ で最大値 $\frac{10}{3}$, $x = 0$ で最小値 $2$ をとります。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{10}{3}$

最小値: $2$