与えられた関数の指定された範囲における値域を求めます。 (1) $y = 3x^2 - 18x + 16$, ($0 \le x \le 2$) (2) $y = -3x^2 - 4x + 2$, ($-1 \le x \le 0$)

1. 問題の内容

与えられた関数の指定された範囲における値域を求めます。

(1) $y = 3x^2 - 18x + 16$, ($0 \le x \le 2$)

(2) $y = -3x^2 - 4x + 2$, ($-1 \le x \le 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2 - 18x + 16$ について：

* 平方完成を行います。

$y = 3(x^2 - 6x) + 16$

$y = 3(x^2 - 6x + 9 - 9) + 16$

$y = 3(x - 3)^2 - 27 + 16$

$y = 3(x - 3)^2 - 11$

* 頂点は $(3, -11)$ です。これは与えられた範囲 $0 \le x \le 2$ の外にあるため、範囲の端の値を調べます。

* $x = 0$ のとき、$y = 3(0)^2 - 18(0) + 16 = 16$

* $x = 2$ のとき、$y = 3(2)^2 - 18(2) + 16 = 12 - 36 + 16 = -8$

* 与えられた範囲内で下に凸な放物線であるため、最小値は $x = 2$ のときの $y = -8$ であり、最大値は $x = 0$ のときの $y = 16$ です。

(2) $y = -3x^2 - 4x + 2$ について：

* 平方完成を行います。

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 2$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3}$

* 頂点は $(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$ です。これは与えられた範囲 $-1 \le x \le 0$ の中にあります。

* 範囲の端の値を調べます。

* $x = -1$ のとき、$y = -3(-1)^2 - 4(-1) + 2 = -3 + 4 + 2 = 3$

* $x = 0$ のとき、$y = -3(0)^2 - 4(0) + 2 = 2$

* 頂点の $y$ 座標は $\frac{10}{3} \approx 3.33$ なので、範囲内の最大値は $\frac{10}{3}$ です。最小値は $x = 0$ の時の $y = 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $-8 \le y \le 16$

(2) $2 \le y \le \frac{10}{3}$