$(\log_{2}3)^{365}$ の最大値を整数で求めよ。

1. 問題の内容

$(\log_{2}3)^{365}$ の最大値を整数で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\log_{2}3$ の値を評価する。

$2^1 = 2 < 3 < 4 = 2^2$ なので、$1 < \log_{2}3 < 2$ である。

また、$2^{1.5} = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} \approx 2.83 < 3$ であるので、$\log_{2}3 > 1.5$ である。

$2^{1.6} = 2^{8/5} = (2^8)^{1/5} = (256)^{1/5}$ であり、$2^{1.7} = 2^{17/10} = (2^{17})^{1/10}$.

$3^{1.5} > 1.5$

$1 < \log_{2}3 < 2$ を用いて評価していく。

$log_2 3 = \frac{log 3}{log 2} \approx \frac{0.477}{0.301} \approx 1.585$

したがって、$(\log_{2}3)^{365} \approx (1.585)^{365}$ の最大値を整数で求める。

常用対数をとると、

$\log ((\log_{2}3)^{365}) = 365 \log (\log_{2}3) \approx 365 \log (1.585) \approx 365 \times 0.200 = 73$

ゆえに、$10^{73}$ 程度になる。

厳密な計算が必要である.

$\log_2 3 \approx 1.58496250072$ であるから、

$(\log_2 3)^{365} \approx 10^{72.96...}$ となる。

よって、最大値は$10^{72.96}$であるから、整数部分は$10^{72}$のオーダーになる。

したがって、

$\lfloor (\log_{2}3)^{365} \rfloor = 10^{72} \times a$ のオーダーとなる。

$(\log_{2}3)^{365} = x$ とする。

$\log_{10} x = 365 \log_{10}(\log_2 3) = 365 \log_{10} (\frac{\log_{10}3}{\log_{10}2}) = 365 (\log_{10} (\log_{10} 3) - \log_{10} (\log_{10} 2)) \approx 365(\log_{10} 0.477 - \log_{10} 0.301) = 365( (\log_{10} 4.77 - 1) - (\log_{10} 3.01 - 1)) = 365 (\log_{10} 4.77 - \log_{10} 3.01) = 365 (0.6785 - 0.4786) = 365(0.1999) = 72.96$

したがって、$x = 10^{72.96} = 10^{0.96} \times 10^{72} = 9.12 \times 10^{72}$

したがって、$9 \times 10^{72}$ は73桁である。

よって求める桁数は、$9120117777781230000000000000000000000000000000000000000000000000$

$\lfloor x \rfloor = 912 \times 10^{70}$

$(\log_2 3)^{365} < 10^{73}$ である。

$(\log_2 3)^{365}$ の整数部分の桁数は73桁である。

3. 最終的な答え

73