与えられた画像の数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題が含まれます。 (1) 2次関数 $y = x^2 + 4x + 3$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。 (2) 2次関数 $y = -2x^2 + 6x - 1$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。 (3) 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられたとき、$a$, $b$, $c$ の符号を判定する。 (4) $b^2 - 4ac$ の値を求める（問題文の不足により、解釈が難しい）。 (5) $a - b + c$ の値を求める（問題文の不足により、解釈が難しい）。 (6) 放物線 $y = 2x^2 + 6x + 7$ は、放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ をどのように平行移動したものか。 (7) 放物線 $y = x^2 - 4x$ を $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に -1 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた画像の数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題が含まれます。

(1) 2次関数 $y = x^2 + 4x + 3$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

(2) 2次関数 $y = -2x^2 + 6x - 1$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

(3) 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが与えられたとき、$a$, $b$, $c$ の符号を判定する。

(4) $b^2 - 4ac$ の値を求める（問題文の不足により、解釈が難しい）。

(5) $a - b + c$ の値を求める（問題文の不足により、解釈が難しい）。

(6) 放物線 $y = 2x^2 + 6x + 7$ は、放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ をどのように平行移動したものか。

(7) 放物線 $y = x^2 - 4x$ を $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に -1 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 4x + 3$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

平方完成を行う：

$y = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3 = (x + 2)^2 - 1$

頂点は $(-2, -1)$、軸は $x = -2$ である。

グラフは頂点を中心に上に開いた放物線となる。

(2) $y = -2x^2 + 6x - 1$ のグラフを描き、軸と頂点を求める。

平方完成を行う：

$y = -2(x^2 - 3x) - 1 = -2(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 1 = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - 1 = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{2}$

頂点は $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$、軸は $x = \frac{3}{2}$ である。

グラフは頂点を中心に下に開いた放物線となる。

(3) グラフから $a$, $b$, $c$ の符号を判定する。

グラフが上に凸であるため、$a < 0$。

軸の位置が $x < 0$ のため、$-\frac{b}{2a} < 0$。$a < 0$ より、$b < 0$。

$y$ 切片が正であるため、$c > 0$。

(4) 問題文が不足しているため、解釈が難しいです。二次関数の判別式 $b^2 - 4ac$ を求める問題だと仮定します。しかし、具体的な二次関数が与えられていないため、計算できません。

(5) 問題文が不足しているため、解釈が難しいです。具体的な $a$, $b$, $c$ の値が与えられていないため、計算できません。

(6) 放物線 $y = 2x^2 + 6x + 7$ は、放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ をどのように平行移動したものか。

それぞれの式を平方完成する。

$y = 2x^2 + 6x + 7 = 2(x^2 + 3x) + 7 = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 7 = 2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{5}{2}$

$y = 2x^2 - 4x + 1 = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x - 1)^2 - 2 + 1 = 2(x - 1)^2 - 1$

頂点はそれぞれ $(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ と $(1, -1)$ である。

移動量は $x$ 軸方向に $1 - (-\frac{3}{2}) = \frac{5}{2}$、$y$ 軸方向に $-1 - \frac{5}{2} = -\frac{7}{2}$ である。

したがって、$x$ 軸方向に $\frac{5}{2}$、$y$ 軸方向に $-\frac{7}{2}$ 平行移動した。

(7) 放物線 $y = x^2 - 4x$ を $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に -1 だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求める。

$x$ 軸方向に 2 平行移動するには、$x$ を $x - 2$ で置き換える。

$y$ 軸方向に -1 平行移動するには、$y$ を $y + 1$ で置き換える。

したがって、$y + 1 = (x - 2)^2 - 4(x - 2) = x^2 - 4x + 4 - 4x + 8 = x^2 - 8x + 12$

$y = x^2 - 8x + 11$

3. 最終的な答え

(1) 頂点：$(-2, -1)$、軸：$x = -2$

(2) 頂点：$(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$、軸：$x = \frac{3}{2}$

(3) $a < 0$, $b < 0$, $c > 0$

(4) 解答不能（問題文の不足）

(5) 解答不能（問題文の不足）

(6) $x$ 軸方向に $\frac{5}{2}$、$y$ 軸方向に $-\frac{7}{2}$ 平行移動

(7) $y = x^2 - 8x + 11$