放物線 $y = x^2 - 4x$ を、$x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x$ を、$x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $y = x^2 - 4x$ を $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めるには、$x$ を $x-2$ で、$y$ を $y+1$ で置き換えます。

したがって、

$y + 1 = (x - 2)^2 - 4(x - 2)$

となります。

これを $y$ について解きます。

まず、右辺を展開します。

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

$-4(x - 2) = -4x + 8$

したがって、

$y + 1 = x^2 - 4x + 4 - 4x + 8$

$y + 1 = x^2 - 8x + 12$

$y = x^2 - 8x + 12 - 1$

$y = x^2 - 8x + 11$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 8x + 11$