四角形ABCDが円に内接しており、$AB = 2$, $BC = 3$, $DA = 1$, $\cos \angle ABC = \frac{1}{6}$ であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 線分AC, CDの長さを求めよ。 (2) 三角形ACDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、$AB = 2$, $BC = 3$, $DA = 1$, $\cos \angle ABC = \frac{1}{6}$ であるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 線分AC, CDの長さを求めよ。

(2) 三角形ACDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分ACの長さを求める。

$\triangle ABC$ において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$AC^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}$

$AC^2 = 4 + 9 - 2 = 11$

$AC = \sqrt{11}$

次に、CDの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$ である。

したがって、$\cos \angle ADC = \cos (180^\circ - \angle ABC) = - \cos \angle ABC = -\frac{1}{6}$ となる。

$\triangle ADC$ において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC$

$11 = 1^2 + CD^2 - 2 \cdot 1 \cdot CD \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)$

$11 = 1 + CD^2 + \frac{1}{3}CD$

$CD^2 + \frac{1}{3}CD - 10 = 0$

$3CD^2 + CD - 30 = 0$

$(3CD + 10)(CD - 3) = 0$

$CD > 0$ より、$CD = 3$

(2) 三角形ACDの面積を求める。

$\sin^2 \angle ADC + \cos^2 \angle ADC = 1$ より

$\sin^2 \angle ADC = 1 - \cos^2 \angle ADC = 1 - \left(-\frac{1}{6}\right)^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$

$\sin \angle ADC = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}$ (∵$\angle ADC$は鋭角なので)

$\triangle ACD$ の面積は

$\frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{\sqrt{35}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \sqrt{11}$, $CD = 3$

(2) $\frac{\sqrt{35}}{4}$