次の3つの漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項をそれぞれ求めます。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + n^2 + n$ (2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 3^n$ (3) $a_1 = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 2$

1. 問題の内容

次の3つの漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項をそれぞれ求めます。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + n^2 + n$

(2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 3^n$

(3) $a_1 = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 2$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + n^2 + n$ より、階差数列を考えます。

$a_{n+1} - a_n = n^2 + n$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$= 2 + \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) + \frac{1}{2}(n-1)n$

$= 2 + \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1+3) = 2 + \frac{1}{6}(n-1)n(2n+2) = 2 + \frac{1}{3}(n-1)n(n+1)$

$= 2 + \frac{1}{3}(n^3 - n) = \frac{1}{3}n^3 - \frac{1}{3}n + 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + 2 = 2$ となり、成り立ちます。

(2) $a_{n+1} = a_n + 3^n$ より、階差数列を考えます。

$a_{n+1} - a_n = 3^n$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k = 2 + \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = 2 + \frac{3}{2}(3^{n-1}-1)$

$= 2 + \frac{1}{2}(3^n - 3) = \frac{1}{2}3^n + \frac{1}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} = 2$ となり、成り立ちます。

(3) $\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 2$ より、数列 $\frac{1}{a_n}$ は公差2の等差数列です。

$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1) \cdot 2 = 2 + 2(n-1) = 2n$

よって、$a_n = \frac{1}{2n}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{3}n^3 - \frac{1}{3}n + 2$

(2) $a_n = \frac{1}{2}3^n + \frac{1}{2}$

(3) $a_n = \frac{1}{2n}$