$\theta$ が第4象限の角であり、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$のとき、以下の値を求めよ。 (11) $\sin\theta - \cos\theta$ (12) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$

1. 問題の内容

$\theta$ が第4象限の角であり、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$のとき、以下の値を求めよ。

(11) $\sin\theta - \cos\theta$

(12) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$

2. 解き方の手順

(11) $\sin\theta - \cos\theta$ を求める。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

問題文より、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$ なので、

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2(-\frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、$\sin\theta - \cos\theta = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$

$\theta$ は第4象限の角なので、$\sin\theta < 0$ かつ $\cos\theta > 0$。

したがって、$\sin\theta - \cos\theta < 0$ であるため、$\sin\theta - \cos\theta = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

(12) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ を求める。

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) = (\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta)$

$\sin\theta - \cos\theta = -\frac{\sqrt{6}}{2}$、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$ を代入すると、

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (-\frac{\sqrt{6}}{2})(1 - \frac{1}{4}) = (-\frac{\sqrt{6}}{2})(\frac{3}{4}) = -\frac{3\sqrt{6}}{8}$

3. 最終的な答え

(11) $\sin\theta - \cos\theta = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

(12) $\sin^3\theta - \cos^3\theta = -\frac{3\sqrt{6}}{8}$