正の定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 2x$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める。また、最小値を求め、その時の $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 2x$ の $0 \le x \le a$ における最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める。また、最小値を求め、その時の $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = 2x^2 - 2x$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - x) = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 2((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$

このグラフは、軸が $x = \frac{1}{2}$、頂点が $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ の下に凸な放物線である。定義域は $0 \le x \le a$ である。

(1) 最大値を求める。

$a$ の値によって場合分けが必要である。

(i) $0 < a < 1$ のとき：

$x=0$ で最大値 $y = 2(0)^2 - 2(0) = 0$

(ii) $a=1$ のとき：

$x=0,1$ で最大値 $y = 2(0)^2 - 2(0) = 0, y= 2(1)^2 - 2(1) = 0$

(iii) $a > 1$ のとき：

$x=a$ で最大値 $y = 2a^2 - 2a$

(2) 最小値を求める。

$a$ の範囲に関わらず軸 $x = \frac{1}{2}$ が定義域 $0 \le x \le a$ に含まれていれば、頂点が最小値を与える。

$x = \frac{1}{2}$ が常に $0 \le x \le a$に含まれるので $x=\frac{1}{2}$の時最小値となる。

よって $x = \frac{1}{2}$ で最小値 $y = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

最大値：

$0 < a < 1$ のとき： $x=0$ で最大値 $0$

$a=1$ のとき： $x=0, 1$ で最大値 $0$

$a > 1$ のとき： $x=a$ で最大値 $2a^2 - 2a$

最小値：

$x = \frac{1}{2}$ で最小値 $-\frac{1}{2}$