与えられた二次関数 $y = 3x^2 - 6x$ において、定義域が $0 < x < 3$ であるとき、この範囲における $y$ の最小値、最大値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = 3x^2 - 6x$ において、定義域が $0 < x < 3$ であるとき、この範囲における $y$ の最小値、最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 3x^2 - 6x = 3(x^2 - 2x)$

$y = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) = 3((x - 1)^2 - 1)$

$y = 3(x - 1)^2 - 3$

この式から、頂点の座標は $(1, -3)$ であることがわかります。

次に、定義域 $0 < x < 3$ における $y$ の値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x = 1$ であり、これは定義域に含まれます。

$x = 1$ のとき、$y = -3$ となり、これが最小値の候補となります。

次に、定義域の端点に近い場所での $y$ の値を調べます。

$x = 0$ に近いとき、$y = 3(0)^2 - 6(0) = 0$

$x = 3$ に近いとき、$y = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$

定義域は開区間 $0 < x < 3$ なので、$x = 0$ や $x = 3$ を含むことはできません。しかし、$x$ が 0 に限りなく近づくとき、$y$ は 0 に近づき、$x$ が 3 に限りなく近づくとき、$y$ は 9 に近づきます。

$x=1$ のとき、$y=-3$ であり、他のいかなる $x$ の値に対しても $y$ は $-3$ より小さくなることはありません。したがって、最小値は -3 です。

$x$ が 3 に限りなく近づくとき、$y$ は 9 に近づきますが、$y$ が 9 になることはありません。

$x$ が 0 に限りなく近づくとき、$y$ は 0 に近づきますが、$y$ が 0 になることはありません。

$y$ は 9 より小さく、0 より大きい任意の値を取ることができます。

したがって、最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

最小値: -3

最大値: なし